tag:blogger.com,1999:blog-55532025758329148032024-03-21T21:45:42.358-07:00Blog del profesorEste blog tiene una doble finalidad: aportar materiales complementarios para alumnos de enseñanza secundaria y compartir experiencias con otros profesores.Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.comBlogger27125tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-53588438379090299302012-10-16T14:25:00.001-07:002012-10-16T14:25:51.737-07:00NÚMERO DE ORO<br />
<center style="background-color: #ffffcc;">
<span class="Header1" style="border-color: rgb(102, 51, 0); border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px; color: #663300; font-family: Verdana, 'Lucida Sans', Arial, Geneva, Helvetica, Helv, 'Myriad Web', Syntax, sans-serif; font-size: 30px; line-height: 40px; text-align: justify;">FI en la Naturaleza</span></center>
<br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><span style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-family: Verdana, 'Lucida Sans', Arial, Geneva, Helvetica, Helv, 'Myriad Web', Syntax, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;">Podemos encontrar el número áureo en distintos seres que pueblan la naturaleza, entre ellos el hombre. Por ejemplo, las caracolas crecen en función de relaciones áureas lo mismo que las piñas o las hojas que se distribuyen en el tallo de una planta. Las falanges de nuestra mano guardan esta relación, lo mismo que la longitud de la cabeza y su anchura.</span><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><center style="background-color: #ffffcc;">
<span class="Header2" style="border-color: rgb(102, 51, 0); border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px; color: #663300; font-family: Verdana, 'Lucida Sans', Arial, Geneva, Helvetica, Helv, 'Myriad Web', Syntax, sans-serif; font-size: 20px; line-height: 30px; text-align: justify;">La Espiral Logarítmica</span></center>
<br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><span style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-family: Verdana, 'Lucida Sans', Arial, Geneva, Helvetica, Helv, 'Myriad Web', Syntax, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;">Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.</span><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><center style="background-color: #ffffcc;">
<img src="http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnado/img/caracola1.gif" /></center>
<br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><span style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-family: Verdana, 'Lucida Sans', Arial, Geneva, Helvetica, Helv, 'Myriad Web', Syntax, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;">Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.<br /><br /><center>
<img src="http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnado/img/caracola2.gif" /></center>
<br /><br />La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.</span><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><center style="background-color: #ffffcc;">
<span class="Header2" style="border-color: rgb(102, 51, 0); border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px; color: #663300; font-family: Verdana, 'Lucida Sans', Arial, Geneva, Helvetica, Helv, 'Myriad Web', Syntax, sans-serif; font-size: 20px; line-height: 30px; text-align: justify;">En el Hombre</span></center>
<br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><center style="background-color: #ffffcc;">
<img src="http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnado/img/hombre.jpg" /></center>
<br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><span style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-family: Verdana, 'Lucida Sans', Arial, Geneva, Helvetica, Helv, 'Myriad Web', Syntax, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;">Leonardo Da Vinci realizó este dibujo para ilustrar el libro De Divina Proportione del matemático Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean las del dibujo adjunto. Resulta que la relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo a la mano es el número áureo.</span><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><center style="background-color: #ffffcc;">
<img src="http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnado/img/manos.jpg" /></center>
<br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><span style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-family: Verdana, 'Lucida Sans', Arial, Geneva, Helvetica, Helv, 'Myriad Web', Syntax, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;">En el cuerpo humano el número áureo aparece en muchas medidas: la relación entre las falanges de los dedos es el número áureo, la relación entre la longitud de la cabeza y su anchura es también este número.</span><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><center style="background-color: #ffffcc;">
<span class="Header2" style="border-color: rgb(102, 51, 0); border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px; color: #663300; font-family: Verdana, 'Lucida Sans', Arial, Geneva, Helvetica, Helv, 'Myriad Web', Syntax, sans-serif; font-size: 20px; line-height: 30px; text-align: justify;">Genealogía</span></center>
<br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><span style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-family: Verdana, 'Lucida Sans', Arial, Geneva, Helvetica, Helv, 'Myriad Web', Syntax, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;">El número de descendientes en cada generación de una abeja macho o zángano nos conduce a la sucesión de Fibonacci, y por lo tanto, al número áureo.</span><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><center style="background-color: #ffffcc;">
<img src="http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnado/img/abejas.jpg" /></center>
<br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><span style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-family: Verdana, 'Lucida Sans', Arial, Geneva, Helvetica, Helv, 'Myriad Web', Syntax, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;">Según se sabe, una vez inseminada la abeja reina por un zángano (de otro enjambre), aquella se queda en su colmena y ya no sale más, dedicándose a la puesta de huevos que ella misma va fecundando o no, dando origen así a abejas obreras, o bien reinas, en el primer caso y machos o zánganos en el segundo. Si observamos el árbol genealógico (<i>figura 1</i>) de un zángano, podemos ver como el número de abejas en cada generación es uno de los términos de la sucesión de Fibonacci.</span><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><center style="background-color: #ffffcc;">
<span class="Header2" style="border-color: rgb(102, 51, 0); border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px; color: #663300; font-family: Verdana, 'Lucida Sans', Arial, Geneva, Helvetica, Helv, 'Myriad Web', Syntax, sans-serif; font-size: 20px; line-height: 30px; text-align: justify;">Botánica</span></center>
<br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><span style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-family: Verdana, 'Lucida Sans', Arial, Geneva, Helvetica, Helv, 'Myriad Web', Syntax, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;">La serie de FIbonacci se puede encontrar también en botánica. Así, por ejemplo, ciertas flores tienen un número de pétalos que suelen ser términos de dicha sucesión; de esta manera el lirio tiene 3 pétalos, algunos ranúnculos 5 o bien 8, las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 o bien 89.</span><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><center style="background-color: #ffffcc;">
<img src="http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnado/img/margarita.jpg" /></center>
<br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><span style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-family: Verdana, 'Lucida Sans', Arial, Geneva, Helvetica, Helv, 'Myriad Web', Syntax, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;">La parte de la botánica que estudia la disposición de las hojas a lo largo de los tallos de las plantas se denomina Filotaxia. En la mayoría de los casos es tal que permite a las hojas una captación uniforme de la luz y aire, siguiendo, normalmente, una trayectoria ascendente y en forma de hélice.</span><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><center style="background-color: #ffffcc;">
<img src="http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnado/img/tallos.jpg" /></center>
<br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><span style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-family: Verdana, 'Lucida Sans', Arial, Geneva, Helvetica, Helv, 'Myriad Web', Syntax, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;">Si tomamos la hoja de un tallo y contamos el número de hojas consecutivas (supongamos que son 'n') hasta encontrar otra hoja con la misma orientación, este número es, por regla general, un término de la sucesión de Fibonacci. Además, si mientras contamos dichas hojas vamos girando el tallo (en el sentido contrario a las agujas del reloj, por ejemplo) el numero de vueltas 'm' que debemos dar a dicho tallo para llegar a la siguiente hoja con la misma orientación resulta ser también un término de la sucesión. Pues bien, se llama "característica" o "divergencia" del tallo a la fracción m/n, y que, como muestra en la <i>figura 2</i>, en el olmo es 1/2, en el álamo 2/5, en el sauce llorón 3/8 y en el almendro 8/13. Si representamos por F<sub>n</sub> el término que ocupa el lugar 'n' en la sucesión de Fibonacci (consideremos, por ejemplo: F<sub>1</sub>=1, F<sub>2</sub>=1, F<sub>3</sub>=2, F<sub>4</sub>=3, F<sub>5</sub>=5, F<sub>6</sub>=8, F<sub>7</sub>=13), en la mayoría de los casos la característica viene dada por una fracción del tipo F<sub>n</sub>/F<sub>n+2</sub>. Así, en el caso del sauce llorón sería F<sub>4</sub>/F<sub>6</sub>.</span><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><center style="background-color: #ffffcc;">
<img src="http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnado/img/pina.gif" /></center>
<br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" /><span style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-family: Verdana, 'Lucida Sans', Arial, Geneva, Helvetica, Helv, 'Myriad Web', Syntax, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;">Las "hojas" de una piña de pino tienen, por regla general, una característica de 5/8 o bien 8/13, presentando propiedades similares las hojas de las lechugas, los pétalos de las flores, las ramas de las palmeras, el ficus, etc., ejemplos que se pueden comprobar fácilmente.</span><br style="background-color: #ffffcc; color: #663300; font-size: 12px; line-height: 18px; text-align: justify;" />Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-85508359519214811782011-09-08T03:34:00.000-07:002011-09-08T03:37:19.586-07:00Concurso internacional de arte fractal Benoit Mandelbrot 2011<div style="text-align: -webkit-auto;"><span class="Apple-style-span" style="color: rgb(101, 101, 101); font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; line-height: 14px; background-color: rgb(255, 255, 255); "><table class="contentpaneopen" style="border-top-style: none; border-right-style: none; border-bottom-style: none; border-left-style: none; border-width: initial; border-color: initial; border-collapse: collapse; -webkit-border-horizontal-spacing: 0px; -webkit-border-vertical-spacing: 0px; "><tbody><tr><td class="contentheading" width="100%" style="font-size: 16px; line-height: 18px; color: rgb(204, 0, 0); font-weight: bold; "> </td><td align="right" width="100%" class="buttonheading"><a href="http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?view=article&catid=191%3Anovedades&id=12933%3Aconcurso-internacional-de-arte-fractal-benoit-mandelbrot-2011&format=pdf&option=com_content&Itemid=86" title="PDF" rel="nofollow" style="color: rgb(153, 0, 0); text-decoration: none; "><img src="http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/templates/divulgamat_novedades/images/pdf_button.png" alt="PDF" style="border-top-width: 0px; border-right-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px; border-top-style: none; border-right-style: none; border-bottom-style: none; border-left-style: none; border-color: initial; " /></a></td><td align="right" width="100%" class="buttonheading"><a href="http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?view=article&catid=191%3Anovedades&id=12933%3Aconcurso-internacional-de-arte-fractal-benoit-mandelbrot-2011&tmpl=component&print=1&layout=default&page=&option=com_content&Itemid=86" title="Imprimir" rel="nofollow" style="color: rgb(153, 0, 0); text-decoration: none; "><img src="http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/templates/divulgamat_novedades/images/printButton.png" alt="Imprimir" style="border-top-width: 0px; border-right-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px; border-top-style: none; border-right-style: none; border-bottom-style: none; border-left-style: none; border-color: initial; " /></a></td><td align="right" width="100%" class="buttonheading"><br /></td></tr></tbody></table><table class="contentpaneopen" style="border-top-style: none; border-right-style: none; border-bottom-style: none; border-left-style: none; border-width: initial; border-color: initial; border-collapse: collapse; -webkit-border-horizontal-spacing: 0px; -webkit-border-vertical-spacing: 0px; "><tbody><tr><td valign="top"><p style="text-align: justify; "><img src="http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/images/phocagallery/Exposiciones/Arte/FractalesICM/thumbs/phoca_thumb_m_11IndraFamily.jpg" border="0" width="100" height="100" style="border-top-width: 1px; border-right-width: 1px; border-bottom-width: 1px; border-left-width: 1px; border-top-style: solid; border-right-style: solid; border-bottom-style: solid; border-left-style: solid; border-color: initial; float: left; border-top-color: black; border-right-color: black; border-bottom-color: black; border-left-color: black; margin-left: 10px; margin-right: 10px; " />Por cuarta vez se celebra el Concurso Internacional de Arte Fractal Benoit Mandelbrot. Hasta su fallecimiento el 14 de Octubre de 2010 Benoit Mandelbrot presidió y colaboró activamente con el concurso que lleva su nombre.</p><p style="text-align: justify; ">Esta edición estará dedicada a su memoria. Será difícil llenar el espacio que dejó Benoit pero su viuda, Aliette Mandelbrot y el científico Michael Barnsley han accedido a ser los presidentes honoríficos del concurso.</p></td></tr></tbody></table></span><span class="Apple-style-span" ><br /></span><span class="Apple-style-span" style="color: rgb(101, 101, 101); font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; line-height: 14px; background-color: rgb(255, 255, 255); "><table class="contentpaneopen" style="border-top-style: none; border-right-style: none; border-bottom-style: none; border-left-style: none; border-width: initial; border-color: initial; border-collapse: collapse; -webkit-border-horizontal-spacing: 0px; -webkit-border-vertical-spacing: 0px; "><tbody><tr><td valign="top"><p style="text-align: justify; ">La fecha límite para la recepción de trabajos es el <strong>15 de septiembre de 2011</strong>. Puede encontrarse más información en la página web del concurso:</p><div><a href="http://www.fractalartcontests.com/2011/">http://www.fractalartcontests.com/2011/</a></div></td></tr></tbody></table></span></div>Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-73262045926168035062011-03-10T11:41:00.000-08:002011-09-08T03:37:59.645-07:00CRIPTOGRAFÍA Y NÚMEROS PRIMOS<span class="Apple-style-span"><h1 id="firstHeading" class="firstHeading" style="background-image: none; background-attachment: initial; background-origin: initial; background-clip: initial; background-color: initial; font-weight: normal; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-top: 0px; padding-bottom: 0px; border-bottom-width: 1px; border-bottom-style: solid; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); width: auto; line-height: 19px;"><div style="mso-element:para-border-div;border:none;border-bottom:solid #AAAAAA 1.0pt; mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm 0cm 31.0pt 0cm"> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;text-align:justify;line-height: 150%;mso-outline-level:1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt; padding:0cm;mso-padding-alt:0cm 0cm 31.0pt 0cm"></p><div style="mso-element:para-border-div;border:none;border-bottom:solid #AAAAAA 1.0pt; mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm 0cm 31.0pt 0cm"> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;text-align:justify;line-height: normal;mso-outline-level:1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt; padding:0cm;mso-padding-alt:0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span class="Apple-style-span" ><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span">La <b>criptografía asimétrica</b> es el método <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Criptograf%C3%ADa" title="Criptografía"><span style="color:blue;text-decoration:none;text-underline: none">criptográfico</span></a> que usa un par de claves para el envío de mensajes. Las dos claves pertenecen a la misma persona a la que se ha enviado el mensaje. Una clave es <i>pública</i> y se puede entregar a cualquier persona, la otra clave es<i>privada</i> y el propietario debe guardarla de modo que nadie tenga acceso a ella. Además, los métodos criptográficos garantizan que esa pareja de claves sólo se puede generar una vez, de modo que se puede asumir que no es posible que dos personas hayan obtenido casualmente la misma pareja de claves.</span></span><span style="color: black; "><o:p> <span class="Apple-style-span">S</span></o:p></span><span class="Apple-style-span">i el remitente usa la clave pública del destinatario para cifrar el mensaje, una vez cifrado, sólo la clave privada del destinatario podrá descifrar este mensaje, ya que es el único que la conoce. Por tanto se logra la <i>confidencialidad</i> del envío del mensaje, nadie salvo el destinatario puede descifrarlo.</span></span></p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;text-align:justify;line-height: normal;mso-outline-level:1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt; padding:0cm;mso-padding-alt:0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span class="Apple-style-span" ><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span">Si el propietario del par de claves usa su clave privada para cifrar el mensaje, cualquiera puede descifrarlo utilizando su clave pública. En este caso se consigue por tanto la <i>identificación</i>y <i>autentificación</i> del remitente, ya que se sabe que sólo pudo haber sido él quien empleó su clave privada (salvo que alguien se la hubiese podido robar). Esta idea es el fundamento de la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Firma_electr%C3%B3nica"><span style="color:blue;text-decoration:none;text-underline:none">firma electrónica</span></a>.</span></span><span class="Apple-style-span"> </span></span></p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;text-align:justify;line-height: normal;mso-outline-level:1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt; padding:0cm;mso-padding-alt:0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span class="Apple-style-span" ><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span">Los <b>sistemas de cifrado de clave pública</b> o <b>sistemas de cifrado asimétricos</b> se inventaron con el fin de evitar por completo el problema del intercambio de claves de los <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Criptograf%C3%ADa_sim%C3%A9trica" title="Criptografía simétrica"><span style="color:blue;text-decoration:none; text-underline:none">sistemas de cifrado simétricos</span></a>. Con las claves públicas no es necesario que el remitente y el destinatario se pongan de acuerdo en la clave a emplear. Todo lo que se requiere es que, antes de iniciar la comunicación secreta, el remitente consiga una copia de la clave pública del destinatario. Es más, esa misma clave pública puede ser usada por cualquiera que desee comunicarse con su propietario. Por tanto, se necesitarán sólo <b>n</b> pares de claves por cada <b>n</b> personas que deseen comunicarse entre sí.</span></span><span class="Apple-style-span"> </span></span></p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;line-height:normal;mso-outline-level: 1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm;mso-padding-alt: 0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span" >Los sistemas de cifrado de clave pública se basan en <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trampa" title="Función trampa"><span style="color:blue;text-decoration:none;text-underline:none">funciones-trampa</span></a> de un solo sentido que aprovechan propiedades particulares, por ejemplo de los <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo" title="Número primo"><span style="color:blue;text-decoration:none;text-underline:none">números primos</span></a>. Una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n"><span style="color:blue;text-decoration:none;text-underline:none">función</span></a> de un solo sentido es aquella cuya <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Computaci%C3%B3n" title="Computación"><span style="color:blue;text-decoration:none;text-underline:none">computación</span></a> es fácil, mientras que su inversión resulta extremadamente difícil. Por ejemplo, es fácil multiplicar dos <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo" title="Número primo"><span style="color:blue;text-decoration:none;text-underline:none">números primos</span></a> juntos para obtener uno compuesto, pero es difícil <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n" title="Factorización"><span style="color:blue;text-decoration:none;text-underline:none">factorizar</span></a> uno compuesto en sus componentes primos. Una función-trampa de un sentido es algo parecido, pero tiene una "trampa". Esto quiere decir que si se conociera alguna pieza de la información, sería fácil computar el inverso. Por ejemplo, <i>si tenemos un número compuesto por dos factores primos y conocemos uno de los factores, es fácil computar el segundo</i>.</span></span></p><p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;line-height:normal;mso-outline-level: 1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm;mso-padding-alt: 0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span" > <b>Bases</b></span></span></p><p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;line-height:normal;mso-outline-level: 1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm;mso-padding-alt: 0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span class="Apple-style-span" ><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span"><b></b></span></span><span class="Apple-style-span">Dado un cifrado de clave pública basado en factorización de números primos, la clave pública contiene un número compuesto de dos factores primos grandes, y el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo"><span style="color:blue; text-decoration:none;text-underline:none">algoritmo</span></a> de cifrado usa ese compuesto para cifrar el mensaje. El algoritmo para descifrar el mensaje requiere el conocimiento de los factores primos, para que el descifrado sea fácil si poseemos la clave privada que contiene uno de los factores, pero extremadamente difícil en caso contrario.</span></span></p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;line-height:normal;mso-outline-level: 1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm;mso-padding-alt: 0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span" ><br /><b>Descripción<o:p></o:p></b></span></span></p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;line-height:normal;mso-outline-level: 1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm;mso-padding-alt: 0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span" >Las dos principales ramas de la criptografía de clave pública son:<o:p></o:p></span></span></p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;line-height:normal;mso-outline-level: 1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm;mso-padding-alt: 0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span" >• Cifrado de clave pública— un mensaje cifrado con la clave pública de un destinatario no puede ser descifrado por nadie, excepto un poseedor de la clave privada correspondiente--presumiblemente, este será el propietario de esa clave y la persona asociada con la clave pública utilizada. Se utiliza para confidencialidad.<o:p></o:p></span></span></p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;line-height:normal;mso-outline-level: 1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm;mso-padding-alt: 0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span" >• Firmas digitales— un mensaje firmado con la clave privada del remitente puede ser verificado por cualquier persona que tenga acceso a la clave pública del remitente, lo que demuestra que el remitente tenía acceso a la clave privada (y por lo tanto, es probable que sea la persona asociada con la clave pública utilizada) y la parte del mensaje que no se ha manipulado. Sobre la cuestión de la autenticidad.<o:p></o:p></span></span></p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;line-height:normal;mso-outline-level: 1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm;mso-padding-alt: 0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span class="Apple-style-span" >Una analogía con el cifrado de clave pública es la de un buzón con una ranura de correo. La ranura de correo está expuesta y accesible al público; su ubicación (la dirección de la calle) es, en esencia, la clave pública. Alguien que conozca la dirección de la calle puede ir a la puerta y colocar un mensaje escrito a través de la ranura; sin embargo, sólo la persona que posee la clave puede abrir el buzón de correo y leer el mensaje.</span></p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;line-height:normal;mso-outline-level: 1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm;mso-padding-alt: 0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span" >Una analogía para firmas digitales es el sellado de un envolvente con un personal, sello de cera. El mensaje puede ser abierto por cualquier persona, pero la presencia del sello autentifica al remitente.<o:p></o:p></span></span></p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;line-height:normal;mso-outline-level: 1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm;mso-padding-alt: 0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span" >Un problema central para el uso de la criptografía de clave pública es de confianza (idealmente prueba) que una clave pública es correcta, pertenece a la persona o entidad que afirmó (es decir, es «auténtico») y no ha sido manipulado o reemplazados por un tercero malintencionado. El enfoque habitual a este problema consiste en utilizar una infraestructura de clave pública (PKI), en la que una o más terceras partes, conocidas como entidades emisoras de certificados , certifican la propiedad de los pares de claves. Otro enfoque, utilizado por PGP , es la " web de confianza ", método para asegurar la autenticidad de pares de clave<o:p></o:p></span></span></p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;line-height:normal;mso-outline-level: 1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm;mso-padding-alt: 0cm 0cm 31.0pt 0cm"><b><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span" >Seguridad<o:p></o:p></span></span></b></p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;line-height:normal;mso-outline-level: 1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm;mso-padding-alt: 0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span class="Apple-style-span" ><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span">Como con los sistemas de cifrado simétricos buenos, con un buen sistema de cifrado de clave pública toda la seguridad descansa en la clave y no en el algoritmo. Por lo tanto, el tamaño de la clave es una medida de la seguridad del sistema, pero no se puede comparar el tamaño de la clave del <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Cifrado_sim%C3%A9trico" title="Cifrado simétrico"><span style="color:blue;text-decoration:none; text-underline:none">cifrado simétrico</span></a> con el del cifrado de clave pública para medir la seguridad. En un <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Ataque_de_fuerza_bruta"><span style="color:blue;text-decoration:none;text-underline:none">ataque de fuerza bruta</span></a> sobre un cifrado simétrico con una clave del tamaño de 80 <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Bit" title="Bit"><span style="color:blue; text-decoration:none;text-underline:none">bits</span></a>, el atacante debe probar hasta 2<sup>80</sup>-1 claves para encontrar la clave correcta. En un ataque de fuerza bruta sobre un cifrado de clave pública con una clave del tamaño de 512 bits, el atacante debe factorizar un número compuesto codificado en 512 bits (hasta 155 dígitos <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Decimal" title="Decimal"><span style="color:blue;text-decoration:none;text-underline:none">decimales</span></a>). La cantidad de trabajo para el atacante será diferente dependiendo del cifrado que esté atacando. Mientras 128 bits son suficientes para cifrados simétricos, dada la tecnología de factorización de hoy en día, se recomienda el uso de claves públicas de 1024 bits para la mayoría de los casos.</span></span><span class="Apple-style-span"> </span></span></p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;line-height:normal;mso-outline-level: 1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm;mso-padding-alt: 0cm 0cm 31.0pt 0cm"><b><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span" >Ventajas del cifrado asimétrico<o:p></o:p></span></span></b></p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;line-height:normal;mso-outline-level: 1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm;mso-padding-alt: 0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span" >La mayor ventaja de la criptografía asimétrica es que se puede cifrar con una clave y descifrar con la otra, pero este sistema tiene bastantes desventajas:<o:p></o:p></span></span></p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;line-height:normal;mso-outline-level: 1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm;mso-padding-alt: 0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span" >Para una misma longitud de clave y mensaje se necesita <b>mayor tiempo de proceso</b>.<o:p></o:p></span></span></p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;line-height:normal;mso-outline-level: 1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm;mso-padding-alt: 0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span" >Las claves deben ser de mayor tamaño que las simétricas.<o:p></o:p></span></span></p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;line-height:normal;mso-outline-level: 1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm;mso-padding-alt: 0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span" >El mensaje cifrado ocupa más espacio que el original.<o:p></o:p></span></span></p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;line-height:normal;mso-outline-level: 1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm;mso-padding-alt: 0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span" >El sistema de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Criptograf%C3%ADa_de_curva_el%C3%ADptica"><span style="color:blue;text-decoration:none;text-underline:none">criptografía de curva elíptica</span></a> representa una alternativa menos costosa para este tipo de problemas.<o:p></o:p></span></span></p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:1.2pt;line-height:normal;mso-outline-level: 1;border:none;mso-border-bottom-alt:solid #AAAAAA .75pt;padding:0cm;mso-padding-alt: 0cm 0cm 31.0pt 0cm"><span style="color: black; "><span class="Apple-style-span" >Herramientas como <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/PGP" title="PGP"><span style="color:blue; text-decoration:none;text-underline:none">PGP</span></a>, <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/SSH" title="SSH"><span style="color:blue; text-decoration:none;text-underline:none">SSH</span></a> o la capa de seguridad <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Transport_Layer_Security" title="Transport Layer Security"><span style="color:blue;text-decoration:none; text-underline:none">SSL</span></a> para la jerarquía de protocolos <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/TCP/IP" title="TCP/IP"><span style="color:blue;text-decoration:none;text-underline:none">TCP/IP</span></a> utilizan un <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Cifrado_h%C3%ADbrido" title="Cifrado híbrido"><span style="color:blue;text-decoration:none; text-underline:none">híbrido</span></a> formado por la criptografía asimétrica para intercambiar claves de criptografía simétrica, y la criptografía simétrica para la transmisión de la información.</span></span></p></div><p></p></div></h1></span>Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-62699627330747201262011-02-21T11:50:00.000-08:002011-02-21T11:56:59.304-08:00MATEMÁTICAS APLICADAS A LA METEOROLOGÍA<span class="Apple-style-span" style="font-family: Arial, Verdana, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; "><div class="antetitulo" style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; color: rgb(153, 51, 0); text-align: left; font-weight: bold; vertical-align: top; margin-bottom: 1px; margin-top: 1em; text-transform: uppercase; "><br /></div><div class="NormalTextoNoticia" id="CuerpoNoticia" style="color: rgb(0, 0, 0); font-size: 1.2em; line-height: 1.4em; text-align: left; text-decoration: none; float: right; width: 470px; "><div class="parrafo columna1" style="float: left; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; width: 225px; margin-right: 10px; "><a href="http://img.europapress.net/fotoweb/fotonoticia_20100920163051_500.jpg" title="Ampliar foto" rel="superbox[image]" style="color: rgb(47, 79, 136); text-decoration: none; "><img src="http://img.europapress.net/fotoweb/fotonoticia_20100920163051_225.jpg" alt="Foto de la Noticia" class="" id="fotoPrincipalNoticia" style="border-top-width: 0px; border-right-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; " /></a><div class="caption ampliar" style="color: rgb(255, 255, 255); font-size: 0.9em; position: relative; top: -1.2em; padding-top: 0px; padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0.5em; background-color: rgb(0, 0, 0); opacity: 0.75; ">Foto: UPCT</div></div><p style="margin-top: 0px; font-size: 1.15em; line-height: 1.3em; ">MURCIA, 20 Sep. (EUROPA PRESS) -<br /><br /><br /> <b>Hacer más fiables los sistemas matemáticos en los que se basan las predicciones meteorológicas</b> o los modelos que analizan los sistemas económicos es uno de los objetivos del congreso organizado por el Departamento de Matemática Aplicada y Estadística de la Universidad Politécnica de Cartagena (UPCT), que esta semana reúne en el hotel Galúa de La Manga a un centenar de expertos de reconocido prestigio nacional e internacional.</p><p style="margin-top: 0px; font-size: 1.15em; line-height: 1.3em; "> Así, el XIV Encuentro 'Czech-Solvak-Spanish Workshop on Discrete Dynamical Systems', que se desarrollará hasta el próximo viernes, analiza <b>la teoría del caos</b>, una de las más conocidas de los llamados sistemas dinámicos.</p><p style="margin-top: 0px; font-size: 1.15em; line-height: 1.3em; "> En concreto, según fuentes de la institución docente, <b>se analizan las herramientas matemáticas que miden la caoticidad de un sistema, como por ejemplo el modelo de Lorenz</b>, que sirve para predecir el tiempo y que está expuesto a variables tan cambiables como la presión atmosférica o la velocidad del viento.</p><p style="margin-top: 0px; font-size: 1.15em; line-height: 1.3em; "> En este sentido, el profesor Miguel Ángel López Guerrero, de la Universidad de Castilla-La Mancha, destaca que <b>las matemáticas "están cada vez más volcadas en las aplicaciones prácticas y en dar respuesta a los problemas reales".</b></p><p style="margin-top: 0px; font-size: 1.15em; line-height: 1.3em; "> Tendencia ésta, ha añadido, que "tiene que ir acompañada desde el punto de vista docente de <b>un esfuerzo para hacerlas más atractivas para los alumnos</b>". "Tenemos que incidir en las aplicaciones reales que las matemáticas tienen en la vida para que sean más interesantes para los estudiantes", ha incidido.</p><p style="margin-top: 0px; font-size: 1.15em; line-height: 1.3em; "> Igualmente, en el encuentro se va a homenajear al profesor de la Universidad de Murcia, Francisco Balibrea, "un precursor en el estudio en España de los sistemas dinámicos y que ha contribuido a colocarnos en el panorama internacional", según explica el profesor de la UPCT y director del Congreso, Juan Luis García Guirao.</p><p style="margin-top: 0px; font-size: 1.15em; line-height: 1.3em; "> Al hilo, Balibrea destaca la importancia de este congreso como una oportunidad única de compartir conocimientos, ya que "en 20 años, España ha pasado de aportar un 1 por ciento de producción mundial en matemáticas a hacerlo en la actualidad en un 4 por ciento, por lo que se va hacia arriba y ahora es el momento de mejorar la calidad de las matemáticas que se hacen en España".</p><p style="margin-top: 0px; font-size: 1.15em; line-height: 1.3em; "> En su opinión, la Universidad Politécnica de Cartagena "está aportando un valor fundamental en el desarrollo de numerosas áreas científicas, técnicas y matemáticas; y ese hecho se constata en que está ascendiendo de forma muy rápida en los rankings mundiales de universidades".</p><p style="margin-top: 0px; font-size: 1.15em; line-height: 1.3em; "> La mayoría de los expertos que participan en el congreso procede de Estados Unidos, China, Australia, Alemania, Francia, Reino Unido, Israel y Eslovaquia, entre otros países.</p><p style="margin-top: 0px; font-size: 1.15em; line-height: 1.3em; "> Entre los ponentes se encuentra M. Misiurewicz, de Indianapolis (USA), una de la autoridades mundiales en entropía topológica, es decir, una medida que se usa para discernir si un sistema tiene un comportamiento complejo o no; así como A.N. Sharkosvkii, autor del célebre de Teorema de Sharkovskii sobre coexistencia de ciclos. Este matemático ucraniano ideó un nuevo orden en el conjunto de los números naturales de modo que si un sistema tiene un período también tiene períodos en el sentido del orden.</p></div></span>Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-27144635876812772772010-09-08T04:05:00.000-07:002010-09-08T04:13:55.135-07:00Entrevista a la presidenta de la Unión Matemática Internacional: Ingrid Daubechies<span class="Apple-style-span" style=" ;font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:10px;"><div class="cabecera_noticia" style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 12px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; background-color: rgb(255, 255, 255); color: rgb(70, 70, 70); "><h2 style="margin-top: 0px; margin-right: 10px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font-weight: normal; font-size:15px;"><span class="Apple-style-span" style="color: rgb(0, 0, 0); font-size:10px;"><div class="cabecera_noticia" style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 12px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; background-color: rgb(255, 255, 255); color: rgb(70, 70, 70); "><h2 style="margin-top: 0px; margin-right: 10px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font-size: 15px; font-weight: normal; "><br /></h2><h1 style="margin-top: 0px; margin-right: 10px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 4px; padding-right: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 380%/normal Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(0, 0, 0); letter-spacing: -1px; line-height: 36px; ">"Quiero mostrar a los jóvenes que los matemáticos no somos raros"</h1><h3 style="margin-top: 0px; margin-right: 10px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font-size: 17px; font-weight: normal; "></h3><div class="firma" style="margin-top: 10px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 2px; padding-left: 0px; "><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 110%/normal Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(65, 65, 65); text-align: left; "><span class="Apple-style-span" style="font-size:85%;"><span class="Apple-style-span" style="font-size:10px;"><b><br /></b></span></span></p></div><div class="limpiar" style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; clear: both; font-size: 1px; line-height: 1px; height: 1px; font-weight: normal; "> </div></div><div class="contenido_noticia" style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; "><div class="estructura_2col_1zq" style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; width: 646px; float: left; display: inline; overflow-x: visible; overflow-y: visible; "><div class="margen_n" style="margin-top: 0px; margin-right: 12px; margin-bottom: 0px; margin-left: 12px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; "><div class="borde_sup" style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; border-top-width: 1px; border-top-style: solid; border-top-color: rgb(209, 209, 209); height: 1px; font-size: 1px; line-height: 1px; font-weight: normal; "></div><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); ">"La familia no es un obstáculo para las mujeres matemáticas", fue el titular con que los periodistas indios presentaron a la recién nombrada presidenta de la Unión Matemática Internacional, la belga Ingrid Daubechies, en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado el mes pasado en Hyderabad (India). Daubechies, de 56 años, física de formación y la primera catedrática de Matemáticas en la Universidad de Princeton (EE UU), no cree que esa afirmación sea una obviedad. "Las mujeres matemáticas son todavía demasiado pocas. A muchas matemáticas jóvenes les preocupa que su trabajo sea incompatible con tener una familia. Y esto pasa no solo en India, también en Estados Unidos", dice.</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><span class="Apple-style-span" style="color: rgb(0, 0, 0); line-height: normal; font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:10px;"></span></p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); ">Daubechies ocupará su nuevo cargo en enero, y lo desempeñará cuatro años. Entre sus varios galardones cuenta con el de la Academia Nacional de Ciencias estadounidense en Matemáticas, y es también la primera mujer en recibirlo. Estudió primaria en un colegio femenino. "Por eso -dice ella- nunca sentí que se esperaba que los niños fueran mejores que las niñas en ciencias". A los ocho años, para dormirse, calculaba potencias de dos: "Me fascinaba lo rápido que crecían los números".</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">Pregunta. </b>En el congreso de Hyderabad muchas personas, sobre todo mujeres indias, querían sacarse fotos con usted. ¿Se ha convertido en un icono?</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><span class="Apple-style-span" style="color: rgb(0, 0, 0); line-height: normal; font-family:Arial, Helvetica, sans-serif;font-size:10px;"></span></p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">Respuesta. </b>Bueno, eso me pasa también en Estados Unidos. Espero animar a más mujeres para que estudien matemáticas. Porque es muy divertido, y porque no se me ocurre ninguna razón por la que la diferencia entre hombres y mujeres en matemáticas deba mantenerse. Cuanto más visibles sean las mujeres matemáticas, más mujeres jóvenes estudiarán la carrera.</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">P.</b> Usted destaca que los matemáticos son "gente normal".</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">R.</b> Mucha gente cree que si te gustan las matemáticas eres un raro, un mutante... Quiero mostrar a los jóvenes que no es así. Muchas personas disfrutan con el pensamiento matemático aunque no sean matemáticos, igual que muchas disfrutan con el deporte aunque no sean deportistas de élite. Realmente, los humanos estamos siempre haciendo razonamientos lógicos: si esto está bien, esto también debe estarlo... O, por ejemplo, si a un niño de 13 años le explicas una regla, inmediatamente él se pondrá a buscar una excepción. Eso es razonamiento matemático. No deberíamos tenerle miedo.</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">P.</b> ¿Es un tema de investigación si el cerebro de las mujeres es mejor o peor para las matemáticas?</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">R.</b> Yo creo que no, pero hay médicos, psicólogos y sociólogos que opinan lo contrario. Creo que tienen una idea completamente equivocada de lo que son las matemáticas. En matemáticas trabajamos juntos, discutimos las cosas hasta que las entendemos y luego las escribimos con un lenguaje eficiente y preciso. Las matemáticas lo que son es una forma de resolver problemas.</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">P.</b> Usted hace matemática aplicada. ¿Puede poner ejemplos de su trabajo?</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">R.</b> Ahora mismo colaboro con historiadores de arte usando técnicas matemáticas de análisis de imágenes. Uno de mis estudiantes trabaja con un experto en la restauración de un Gauguin. La obra ha sido restaurada en otras ocasiones y hay pintura depositada en las irregularidades de la tela. Nuestra técnica ha mostrado al restaurador cómo quedaría la obra sin ese exceso de pintura, y él está encantado. También estamos ayudando a otro historiador que estudia los trazos que los maestros del XVI, o sus ayudantes, hacían bajo la pintura. Es muy interesante. Mis doctorandos manejan datos de obras de Gauguin, o de Van Gogh...<b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; "></b></p><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; "></b><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">P. </b>¿Cómo le llegan esos problemas?</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">R.</b> Bueno, me encanta aprender hablando de todo con la gente. De vez en cuando haces conexiones y surgen temas interesantes.</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">P.</b> Usted es experta en <i style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">wavelets</i>, una herramienta usada en el extendido formato informático de imágenes JPEG. ¿Qué son las <i style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">wavelets</i>?</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">R. </b>Son una manera de descomponer algo en componentes más simples. Imagine que queremos pintar una acuarela. Con un pincel de trazo grueso pintamos un fondo; con otro más fino pintamos detalles, y cuanta más precisión queremos, más fino es el pincel. Es decir, en general no uso el pincel fino para pintar el fondo, porque es un esfuerzo innecesario. Las <i style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">wavelets</i> son la manera matemática de hacer esto; solo uso las herramientas finas, más costosas, para los detalles finos.</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">P. </b>¿Qué planes tiene para la Unión Matemática Internacional (IMU)?</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">R.</b> La IMU es cada vez más activa en la ayuda a los países en vías de desarrollo. También en educación, y en esto vivimos ahora una crisis. En Europa y en EE UU faltan matemáticos para la enseñanza, así que la tarea recae en profesores que no han sido entrenados en matemáticas y a los que puede que ni les gusten. Y si has aprendido matemáticas como un mal necesario, realmente no eres la persona más adecuada para transmitir a los niños el gusto por ellas.</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">P.</b> ¿Cómo es de grave la crisis?</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">R.</b> Está empeorando, el número de estudiantes de matemáticas ha bajado mucho. Y es grave a todos los niveles, porque una mala enseñanza de las matemáticas en el colegio afecta a la siguiente generación de científicos. Últimamente las matemáticas en primaria y secundaria se basan mucho en la técnica, en fórmulas, y en pedir a los chicos que en cierto modo suspendan su pensamiento crítico. Se les dice: "Simplemente aprende esto, ya descubrirás para qué sirve". Así no se motiva a la gente.</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">P. </b>¿Cómo piensa abordar el problema?</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">R.</b> Un objetivo es conectar a los profesores de Matemáticas con los investigadores. Creo que muchos no estudian matemáticas porque piensan que se convertirán en profesores y perderán el contacto con las matemáticas, que es lo que les gusta. Voy a tratar de evitarlo.</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">P.</b> ¿Cómo fue elegida?</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">R.</b> Hay un comité en la IMU que se reúne y propone candidatos. También, cada país miembro de la unión puede hacer propuestas. A mí la propuesta me llegó en un buen momento, porque mis hijos ya están en la universidad y tengo más tiempo para viajar.</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">P. </b>No es habitual que alguien cuente que pensó en sus hijos a la hora de aceptar un cargo.</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">R.</b> Bueno, cuanta más gente vea que los matemáticos pueden tener una jornada laboral de ocho horas y niños a su cargo, mejor.</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">P. </b>¿Trabaja usted ocho horas?</p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); "><b style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; ">R.</b> Yo procedo del sector industrial, de los Laboratorios Bell, y ahí era estricta con mi tiempo de trabajo. Cuando me ofrecieron ir a Princeton expliqué que mi tiempo después de las seis lo dedicaba a mis hijos, simplemente. Y por la noche estaba cansada. Aceptaron. Ahora bien, para investigar en matemáticas necesitas bloques de tiempo prolongados para pensar; si lo que tienes son 10 minutos cada 20 de trabajo, entonces no se puede.</p><p></p><p></p><p style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 13px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font: normal normal normal 160%/140% Georgia, 'Times New Roman', Times, serif; color: rgb(51, 51, 51); ">ElPais.com<br /><span class="Apple-style-span" style="color: rgb(65, 65, 65); line-height: normal; font-size:11px;"><strong style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font-size: 10px; font-weight: bold; ">MÓNICA SALOMONE</strong> <em style="margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; font-size: 10px; font-style: normal; ">- Hyderabad - </em>08/09/2010</span></p></div></div></div></span></h2></div></span>Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-70735393319952727552010-02-18T04:44:00.000-08:002010-02-18T04:46:13.617-08:00COMENTARIO SOBRE ÁGORALa última del tándem Amenábar/Gil es un poliédrico mosaico que abarca distintas facetas de la existencia del ser humano. Así lo han recogido diversos medios de comunicación, aunque la mayoría incide en el análisis de las históricas, políticas, religiosas, sociales y cinematográficas, pasando por alto uno de los temas más relevantes (si no el que más) que afronta el film: el científico. Tampoco los numerosos blogs de la Red abordan este aspecto, salvo unos pocos claramente orientados a la divulgación científica. La sociedad actual vive deprisa, consume y fagocita todo sin reservar un instante para la reflexión y el aprendizaje. Por eso cuando surge alguna propuesta medianamente racional, que intente recordarnos lo que somos en realidad, mal que nos pese, no se debe dejar pasar la oportunidad de destacarla y, si es posible, aprender disfrutándola.<br />Uno de los aspectos que más llaman la atención (el que esto escribe lleva varios años rastreando la pista de contenidos matemáticos de alguna relevancia en el cine comercial que puedan ser utilizados en el desarrollo docente de nuestras clases) es la magnífica documentación científica de la película. No se ha limitado a un breve comentario superficial como hace la mayoría, aún a riesgo de ahuyentar la audiencia. Y además del rigor lo han hecho con inteligencia y vistosidad.<br />Poco se conoce de la Hipatia real, pero está casi todo. Sabemos de su fama de erudita y excelente comunicadora. Las crónicas indican que llegaban personas de lugares muy lejanos a Alejandría a escucharla y aprender de su maestría. Varias escenas, entre ellas la que abre la película, así nos la muestran, enseñando no sólo Astronomía, Física o Matemáticas, sino también el ideal neoplatónico cargado de tolerancia, independencia y antidogmatismo (no deja de ser paradójico que con el tiempo el cristianismo recogiera en su doctrina un montón de ideas neoplatónicas): “¿Recuerdas la primera regla de Euclides (en su obra los Elementos)? Si dos cosas son iguales a una tercera, todas son iguales entre sí. ¿Y no sois ambos semejantes a mí? […] Quiero deciros esto a todos los que estáis en esta habitación: Es más lo que nos une que lo que nos separa. Y pase lo que pase en las calles, somos hermanos. Somos hermanos”. Hipatia no discriminaba a nadie que tuviera deseos de aprender admitiendo a todos, incluso a los esclavos, como se pone de manifiesto en varios momentos de la película.<br />La destrucción de la Biblioteca de Alejandría (por segunda vez, no lo olvidemos) fue la causa inmediata de la pérdida de la mayor parte del conocimiento de la Antigüedad. Nunca en la Historia ha existido otra ciudad que haya sido el centro de la actividad matemática durante un periodo tan largo (desde Euclides, 300 a.C. hasta la muerte de Hipatia, 415 d.C.). Y no sólo matemática. Era una ciudad donde griegos, egipcios, árabes, sirios, hebreos, persas, nubios, fenicios, romanos, galos e íberos intercambiaban mercancías e ideas. Carl Sagan indica que allí es donde la palabra cosmopolita, ciudadano del Cosmos, adquirió su pleno significado. Sin embargo sólo una élite estaba al tanto de los descubrimientos que los investigadores de aquella Biblioteca hacían. En la película, Hipatia y sus discípulos están muy preocupados por salvar de la destrucción la mayor cantidad posible de obras. No conocemos a ciencia cierta si esta fue una de sus preocupaciones, pero lo que es seguro es que, en la actualidad, si conocemos algunas obras de autores clásicos es precisamente gracias a Teón y, presumiblemente, a su hija Hipatia.<br />El último tratado matemático antiguo verdaderamente importante es la denominada Colección de Pappus. Se siguieron escribiendo textos pero apenas si aportaban ideas nuevas. Precisamente Pappus comenzó la moda de los Comentarios, que no eran sino recopilaciones y aclaraciones de obras clásicas, explicadas más llanamente con demostraciones detalladas, como los actuales manuales para estudiantes, algunos de los cuales también incluían resultados novedosos. De Hipatia nos han llegado referencias, traducciones o copias manuscritas de siglos posteriores de sus Comentarios al Almagesto de Ptolomeo, a las Cónicas de Apolonio, a los Elementos de Euclides, y a la Aritmética de Diofanto.<br />Salvo de esta última, de todas hay referencias en la película: la explicación del sistema ptolemaico, e incluso una recreación que construye el esclavo Davo, además de la comprobación junto a su padre de los datos de las conocidas como Tablas Manuales incluidas en el Almagesto; las citas a las cónicas (“curvas impuras”, denominadas así en oposición a su ideal, el círculo), otro instrumento didáctico, el cono de Apolonio, en el que se muestran el círculo, la elipse, la parábola y la hipérbola, así como el trazado sobre la arena de una elipse conocidos los focos corresponderían al segundo de los tratados mencionados; y finalmente la mencionada escena del “Somos hermanos” sobre el libro de Euclides. De haber incluido algo sobre la obra de Diofanto se habría redondeado este apartado bibliográfico ya que la única referencia a esta importante obra que ha llegado a nuestros días es precisamente a través de copias de siglos posteriores del tratado de Hipatia. Tampoco aparecen sus contribuciones a otros mecanismos como el astrolabio o el hidroscopio.<br />Las reseñas publicadas de la película nos familiarizan con personajes históricos, como la propia Hipatia, Teón, el patriarca Cirilo y el Prefecto Orestes; nos explican quiénes eran los monjes parabolanos, los paganos, Serapis y el Serapeo, la importancia del ágora… todo ello son referencias culturales interesantes. Pero ¿no tiene la misma importancia (o más porque siguen utilizándose esas ideas) los conceptos de elipse, las cónicas en general, o las interpretaciones primigenias del sistema solar como la de las esferas concéntricas, los epiciclos o los movimientos excéntricos? Todo eso se cita fenomenalmente en el film, pero pocos le dan la importancia que tiene a pesar de ser fácil de comprender a nivel divulgativo.<br />Otra cosa sería pretender que todos los espectadores conocieran y manejaran las ecuaciones del movimiento circular o del cálculo de una órbita. No, no se trata más que de asimilar las ideas más sencillas en que se basan y entender a un nivel elemental cómo se comporta el mundo que nos rodea, y valorar en su justa medida el ingenio de los pensadores antiguos que no disponían de nuestros sofisticados aparatos, aunque sí del instrumento más perfecto que ha podido diseñar la mente humana: la lógica y las matemáticas.<br />Si el modelo heliocéntrico de Aristarco de Samos (s. III a.C.) no prosperó (como también se menciona en el guión), fue precisamente por la falta de un modelo matemático consistente, además de la pérdida de sus trabajos en el primer incendio de la Biblioteca de Alejandría en época de Julio César. Hay indicios fundados de que Hipatia se interesó por ese sistema. La película va más allá y especula con que, sin tiempo para madurar y escribir sus descubrimientos, tuvieron que pasar mil años hasta que Copérnico y Kepler redescubrieran sus ideas. Ficción científica no comprobada, pero nada descabellada. Ojalá el cine fuera tan cauto siempre.<br />Sobre si la película es buena, regular o mala habrá mil opiniones, todas respetables. Es probable que en determinados momentos le falte ritmo (porque el impuesto inicialmente es frenético), que se abuse de los planos aéreos y los movimientos de cámara, que haya personajes poco aprovechados, etc., pero de lo que no cabe la menor duda es de que la realización técnica, el montaje, y sobre todo, la documentación en tantos y tan diferentes campos (Astronomía, Matemáticas, Historia, Religión, Física, Sociología, Política, la mujer en la Antigüedad, entre otros) ha sido magnífica. Cuando pasen un par de semanas y se haya diluido el boom mediático y publicitario, nos habrá quedado una perfecta ilustración de la ciencia y la sociedad en el mundo antiguo, y una honesta visión de lo que pueden provocar los momentos de crisis e incertidumbre unidos a la intolerancia, algo que Cecil B. de Mille siempre despreció porque su único objetivo era hacer caja y ser el más grande y glamouroso. En eso sí somos expertos, en la pluma y el glamour. Y así nos ha ido, y así nos va.<br /><br />Escrito por Alfonso Jesús Población Sáez<br />Artículo aparecido en el <a href="http://blog.i-math.org/" target="_blank">Blog para anti-matemáticos</a>Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-29958333247589288302010-01-06T04:29:00.000-08:002010-01-06T04:31:28.160-08:00Récord de computación de cifras del número PI<h3>Con un ordenador doméstico se han calculado 2,7 billones de decimales </h3> <!-- google_ad_section_end() --> <div class="firma"> <p><strong>ELPAÍS.com</strong> <em>- Barcelona - </em>06/01/2010 </p> </div> <div class="limpiar"> Con un ordenador doméstico, <a href="http://bellard.org/pi/pi2700e9/announce.html" target="_blank">Fabrice Bellard </a>ha establecido un nuevo récord en la computación de cifras del número PI. Concretamente ha calculado 2,7 billones de decimales. Lo más notable es que lo ha logrado con un ordenador doméstico que, según él mismo, le ha costado menos de 2.000 euros. El anterior récord, con cerca de 2,6 billones de decimales, lo consiguió en agosto del pasado año en Japón Daisuke Takahashi. Empleó 29 horas pero usó un superordenador. Bellard ha trabajado 131 días, pero con un ordenador doméstico. Bellard no está tan interesado en este récord como en el desarrollo de los algoritmos necesarios para este tipo de tareas. Bellard planea distribuir el programa con el que ha conseguido el récord.</div><!-- ***** Fin Votos y comentarios ***** --> <!-- ***** Entradilla ***** --> <!-- google_ad_section_start() --> <!-- google_ad_section_end() --> <!-- ***** Fin de Entradilla ***** --> <!-- ***** Info complementaria ***** --> <!-- ***** Fin Info Complementaria ***** --> <!-- ***** Cuerpo ***** --> <!-- google_ad_section_start() --> <!-- Info complementaria --> <div class="info_complementa"> <!-- ************* Tabla **************** --> <!-- ************* Fin Tabla **************** --> <!-- ************* Destacados **************** --> <!-- ************* Fin Destacados **************** --> <!-- ************* El dato **************** --> <!-- ************* Fin El dato **************** --> <!-- ************* La cifra **************** --> <!-- ************* Fin La cifra **************** --> <!-- ************* La frase **************** --> <!-- ************* Fin La frase **************** --> <!-- ************* Las claves **************** --> <!-- ************* Fin Las claves **************** --> </div> <p>Según detalla Bellard, la computación binaria le tomó 103 días y su verificación, 13. Luego realizó la conversión a base 10 y su la verificación le ocupó el resto.</p><p>Sólo en el caso de la verificación empleó una red de nueve ordenadores domésticos durante 34 horas. Si lo hubiera hecho con el mismo ordenador (Intel Core i7 de 2.93 GHz, 6 GB de RAM y 5 discos duros de 1.5 terabytes) habría tardado 13 días más. El sistema operativo era Linux.</p>Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-3752162399047583042009-12-11T01:52:00.000-08:002009-12-11T01:54:35.750-08:00Algoritmos saludables<p align="justify"><b>Científicos de la Politécnica descubren aplicaciones matemáticas para mejorar los diagnósticos médicos por imagen</b><br /><br />El hallazgo tiene dimensión internacional. Una investigación realizada en el campus de Gandia de la Universidad Politécnica, que arrancó con la tesis doctoral de un joven investigador, Samuel Morillas (Granada, 1979), ha establecido que la aplicación de dos herramientas matemáticas, en este caso la lógica y las métricas difusas, mejoran la calidad de las imágenes digitales que se utilizan en los diagnósticos médicos. En la práctica, esto supone mayor precisión y rapidez en el diagnóstico e, incluso, los responsables del hallazgo avanzan que el empleo de los algoritmos matemáticos en el procesamiento de imágenes servirá para desarrollar formas de diagnóstico por imagen "menos perjudiciales para el ser humano". Otras aplicaciones más prosaicas, pero igualmente relevantes, van en la línea de mejorar los procesos de restauración de fotografías o películas en formato digital.<br /><br />La tesis de Morillas, Métricas y lógica fuzzy para filtrado de imágenes en color, codirigida por el catedrático de Matemática Aplicada del campus de Gandia, Valentín Gregori, y el profesor titular de Ingeniería Gráfica de la Universidad Politécnica de Valencia Guillermo Peris, fue reconocida la mejor de 2007 en el área de matemáticas y ha sido difundida en una veintena de publicaciones científicas y revistas internacionales, lo que le valió a Morillas una beca de la Generalitat para complementar sus investigaciones en 2008. Y en los próximos dos años, a través de una beca de la Politécnica, desarrollará líneas de investigación, entre ellas la puesta a punto del software que permita la aplicación práctica del descubrimiento. Un paso adelante, aseguran, en el diagnóstico más preciso de enfermedades como el cáncer o el Alzheimer, al proporcionar a los médicos instrumentos de diagnóstico más rápidos y precisos. "Hasta que la tecnología, el hardware, se desarrolle lo suficiente, esperamos que los problemas se puedan paliar con nuestro sistema y con el software que estamos desarrollando", dice el investigador.<br /><br />"El problema es que la imagen digital puede perder calidad por muchos factores, caso del tiempo o porque fue tomada en un contexto poco favorable. Y las nuevas tecnologías de la imagen no están totalmente desarrolladas", explica Morillas. "La idea", prosigue, "es procesar la imagen para que todos esos defectos se vean atenuados a través de algoritmos implementados en base a herramientas matemáticas como la lógica difusa y la métrica difusa". Básicamente, dichas herramientas lo que consiguen es asignar un determinado grado de bondad a los píxeles para poder procesar la imagen "de forma suave" en vez de tratarla como un conjunto cerrado. "Hay conceptos de la vida diaria que no se pueden clasificar de forma drástica, como la juventud, que tiene una serie de grados. A este tipo de conceptos, en los que no hay una certeza, se les puede aplicar la lógica difusa", aclara Morillas.<br /><br />La bondad del descubrimiento reside en su aplicación práctica. Sin embargo, el joven investigador piensa que sin los avances previos, de carácter más teórico, ello no hubiera sido posible. "A veces se critica la investigación científica puramente teórica. Pero todo el desarrollo teórico previo ha llamado a que ahora se puedan hacer aproximaciones prácticas, útiles. Es un respaldo a la investigación teórica que se ha hecho años atrás", remarca.</p> <p align="justify">Xavier Aliaga (El País)</p>Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-63341573874801374702009-10-18T14:48:00.000-07:002009-10-19T13:09:15.926-07:00Artículo sobre Hipatia<div align="justify">Hipatia es conocida en ciertos círculos como la hija de Teón --un matemático astrónomo y astrólogo alejandrino del siglo IV-. Sin embargo, Hipatia debe ser tenida en cuenta por sí misma y no como la hija de alguien. Fue una científica prestigiosa, muy estimada entre el mundo académico de su tiempo. Algunos la han considerado la última de las científicas del mundo antiguo que desarrolló su talento en el terreno de las matemáticas. No desdeñó los conocimientos de astronomía y se sintió atraída por el platonismo, hasta el punto de impartir clases de filosofía.<div class="p"> </div> <div class="p">Desde hace años me interesaba su figura. Algunas referencias la presentaban como un arquetipo del clasicismo en el declinar del mundo antiguo, como una decidida defensora de la cultura grecorromana que, en su ciudad, se había combinado con elementos fundamentales de la civilización egipcia. Hipatia era un referente para quiénes rechazaban el dogmatismo que, en medio de grandes controversias, se imponía en el cristianismo al establecerse por aquellas fechas el canon del Nuevo Testamento en los concilios de Hipona y Cartago. Alejandría, la patria de Hipatia, se convirtió en uno de los centros neurálgicos de aquel debate teológico e ideológico. No en balde, allí era donde había sostenido sus planteamientos uno de los heresiarcas más importantes: Arrio, cuyas propuestas fueron condenadas en el concilio de Nicea donde fue pieza principal Osio, el titular de la sede episcopal cordobesa.</div><div class="p"> </div> <div class="p">Hipatia, cuya fecha de nacimiento de sitúa entre el 355 y el 370, se opuso dialécticamente a los planteamientos defendidos por los patriarcas de su ciudad. Se enfrentó a dos de ellos de gran proyección en su tiempo: Teófilo y a Cirilo, este último elevado más tarde a los altares y fueron monjes vinculados de su entorno quienes acabaron con su vida. La raptaron cuando, como una antigua matrona romana, paseaba en una litera, todo un desafío a la moralidad que el cristianismo trataba de imponer, al defender para la mujer un papel vinculado al hogar y sometida al marido. Le infligieron una terrible tortura, al hacerle incisiones en su cuerpo con conchas de mar afiladas hasta morir desangrada, después quemaron su cuerpo para que no quedase rastro material de su existencia. Lo que sus asesinos no pudieron borrar fue el valor de su obra científica.</div><div class="p"> </div><div class="p">Sobre Hipatia y su penoso final cayó durante siglos un espeso manto de silencio. Para lo que denominamos la cultural occidental su figura no se recuperaría hasta el siglo XVIII. En el siglo XIX fue objeto de fuertes polémicas y de una notable atención literaria que dio, entre otros frutos, la obra de Charles Kingsley: «Hipatia». Recientemente la historiadora polaca Maria Dzielska ha escrito un interesante ensayo sobre la matemática alejandrina. Amenábar ha rodado una película anunciada como uno de los grandes estrenos de la temporada con el título de «Ágora». Somos numerosos los autores que hemos mostrado interés por la insigne científica, en estos días llega a las librerías la última de mis novelas: «El sueño de Hipatia» donde he recreado el ambiente histórico de la Alejandría en que ella vivió, así como las controversias que se produjeron en el seno del cristianismo, el mundo que emergía de su mano y los últimos estertores del mundo antiguo. No me he resistido -al fin y al cabo se trata de una novela- a trazar una trama de intriga relacionada con el descubrimiento, poco después de que terminase la Segunda Guerra Mundial, de los llamados manuscritos de Nag Hammadi, donde aparecen reflejadas las creencias de los gnósticos, una importante rama del cristianismo en la época en que vivió Hipatia.<br /><br />José Calvo Poyato<br /></div> </div>Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-63261555102166437742009-09-27T09:31:00.000-07:002009-09-27T09:34:02.376-07:00INFORME SOBRE EL MASTER DE PROFESOR DE SECUNDARA<p align="justify">La formación inicial de los profesores de Enseñanza Secundaria y Bachillerato en España incluye desde hace muchos años un curso que conduce a la obtención del Certificado de Capacitación Pedagógica (CAP) que es requisito para presentarse a las oposiciones y para dar clase en centros educativos públicos, privados y concertados. El curso pretende dotar de conocimientos didácticos y metodológicos básicos a los licenciados en las distintas materias que van a ser profesores. Estos cursos, de mayor o menor duración y exigencia, según los organismos que los imparten, van a ser sustituidos en el año 2009/10 por el Master de Profesor de Enseñanza Secundaria Obligatoria y Bachillerato, de acuerdo con la nueva estructura de las titulaciones universitarias como consecuencia del proceso de Bolonia.<br /><br />Con relación a la regulación por parte del Ministerio de Educación de los estudios conducentes a dicho título (ver la Orden Ministerial ECI/3858/2007) y de los múltiples debates que sobre este tema están teniendo lugar en la comunidad educativa, la Real Sociedad Matemática Española (RSME), integrada mayoritariamente por profesores de Matemáticas de todos los niveles educativos de Secundaria, Bachillerato y Universidad, quiere contribuir con este documento a las reflexiones encaminadas a encontrar el sistema más adecuado para la formación inicial específica de un graduado universitario que quiera optar a ser profesor de Matemáticas de Enseñanza Secundaria y Bachillerato.<br /><br />Manifestamos en primer lugar que un profesor de Matemáticas de Secundaria debe tener una buena formación tanto en los temas centrales de la disciplina que pretende enseñar como en cuestiones específicas que le ayudarán al desarrollo de su docencia. Así pues necesitará conocimientos básicos de Didáctica y Psicología enfocados a la enseñanza de adolescentes y también de aspectos metodológicos apropiados. No hay que olvidar tampoco la importancia de una formación que podríamos llamar “Matemáticas Elementales desde un punto de vista superior”, y que consiste en el estudio las áreas básicas de las Matemáticas desde una perspectiva avanzada y que al futuro profesor le proporcionan una visión de conjunto de las Matemáticas muy adecuada para que luego pueda organizar su docencia de manera coherente.<br /><br />En ese sentido creemos que la existencia de cursos como el que ahora se proponen es positiva. Ello no es óbice para que haya ciertos aspectos que, a nuestro juicio, deberían clarificarse. También procede comentar que no es la única posibilidad el hecho de que se le haya dado la forma de master a esta formación inicial. En varios países europeos con tradición educativa consolidada (Finlandia o Francia, por ejemplo) podemos comprobar que en los primeros cuatro años de estudios universitarios se incluye una buena parte o todo lo que aquí se va a trasladar al master. De hecho, el Libro Blanco para el Grado de Matemáticas apuntaba en esta dirección al sugerir que en los últimos años pudiese haber un grupo de asignaturas optativas conducentes a capacitar al graduado para ser profesor de Secundaria.<br /><br />Queremos también insistir en la idea de que el master que se pretende ofrecer debe tener un carácter interdisciplinar que haga posible la colaboración de profesores de Psicología, Didáctica General, Didáctica de las Matemáticas, todas las áreas de Matemáticas y de los profesores de Secundaria de Matemáticas en ejercicio, que aportan la experiencia diaria de la docencia a pie de aula y que deben participar en la buena planificación de las prácticas que se incluyan en el master. Las prácticas no sólo “quitan el miedo escénico”, sobre todo deben orientar al futuro docente para que sepa ofrecer a los alumnos una unidad coherente de aprendizaje a partir de toda la formación que ha recibido. La teoría alimenta la práctica y viceversa, de ahí la importancia del trabajo tutorial. Conseguir esta colaboración entre profesores diversos es un reto muy importante para las Comunidades Autónomas y las Universidades a la hora de establecer el proceso de planificación y desarrollo del master.<br /><br /><br /> Podemos sintetizar así nuestras reflexiones:<br /><br /> </p><ol><div align="justify"><li>Dada la particularidad y complejidad de la enseñanza de las Matemáticas, consideramos que dentro del master debe haber una especialidad de Matemáticas. A ella accederán graduados que puedan acreditar haber cursado en su titulación al menos 60 créditos de Matemáticas y otros 60 de Matemáticas o materias afines (Física, Informática, Estadística...) En caso contrario el acceso estaría condicionado a un examen o a que cursen unos complementos de formación indicados por la comisión responsable del master.</li><li>Esta especialidad deberá ser requisito para que, una vez superado el master, el estudiante pueda concursar para obtener una plaza de profesor de Matemáticas en Enseñanza Secundaria y Bachillerato, ello garantizaría el nivel de conocimientos y formación adecuado. Sería conveniente por parte de las universidades facilitar la posibilidad de poder cursar sin emplear el doble de tiempo dos especialidades próximas, por ejemplo Matemáticas e Informática o Matemáticas y Física y Química.</li><li>Aceptando la importancia de la innovación y de la iniciación a la investigación educativa como instrumentos de reflexión sobre la práctica educativa, consideramos que el núcleo central de la formación específica debe recaer en las competencias didácticas y disciplinares. Por ello, este master no puede ser competencia exclusiva de las Facultades de Educación. Es esencial la participación de las Facultades responsables de las distintas materias, en particular Matemáticas.</li><li>La planificación adecuada de las prácticas es algo esencial para que se cumplan los objetivos del master. En este sentido la propuesta de Ministerio de Educación sobre la existencia de Centros de Prácticas y Tutores de prácticas nos parece acertada pero difícil de realizar si no hay un compromiso por parte de las Comunidades Autónomas de una financiación suficiente y de una reducción de horas lectivas al profesorado que vaya a dedicarse a las tutorías. ¿Cómo se va a preparar a los tutores? ¿Quién se va a encargar de esa formación? ¿Qué criterios se van a utilizar para la selección de centros de prácticas y tutores? Existen experiencias con buenos resultados en las que los “aspirantes a profesores” dan clases durante un año (al menos) en un centro, encargándose de sus correspondientes grupos de alumnos, aunque naturalmente, con unas horas de docencia reducidas para poder dedicar el resto del tiempo a la formación tutelada.</li><li>Hay cierta preocupación en las universidades que ofrecen másteres y doctorados en Investigación matemática sobre el posible descenso del número de alumnos en estas enseñanzas ante la disyuntiva que se les puede presentar a los estudiantes que quieran asegurar la posibilidad de ser profesores de secundaria, bien porque les guste o bien porque ven difíciles otras salidas profesionales. El número de alumnos no suele ser alto y ahora podría decrecer si muchos estudiantes dan prioridad al master de profesor. De cara a buscar soluciones hay opiniones favorables a que haya en los masteres de investigación y en el master de profesor algunos créditos que puedan ser reconocidos de unos a otros, de modo que el estudiante no tenga que “empezar de cero” si quiere optar a las dos posibilidades pero siempre con la garantía de que no se desdibujen los objetivos propios de cada tipo de master.</li></div></ol><br /> <div align="justify">Finalmente queremos insistir en la importancia de la formación permanente del profesorado, que en términos de la convergencia europea se puede enunciar como “aprender durante toda la vida”. Por ello el master de profesor de secundaria es un primer paso necesario que deberá completarse con aprendizajes posteriores, tanto en aspectos didácticos como en la actualización de conocimientos matemáticos.</div><br /><br /><div align="right">RSME, Septiembre 2008.</div>Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-12132163970944588032009-03-31T02:18:00.000-07:002009-03-31T02:23:07.898-07:00ENTREVISTA A MICHAEL ATIYAHEl matemático Michael Atiyah, considerado el especialista vivo más importante en esta materia, cree que el método matemático será "de gran ayuda" en el futuro para ciencias como la biología y la genética, pues podrá contribuir a técnicas para regenerar la piel o un miembro amputado.<br /><br />Así lo considera Michael Atiyah, que es profesor emérito de la Universidad de Edimburgo y ha obtenido la Medalla "Fields", el equivalente al premio Nobel en las matemáticas, durante una entrevista con EFE con motivo de su participación en varios actos de las facultades de Física y de Matemáticas de la Universidad de La Laguna.<br /><br />El matemático británico, nacido en 1929, sostiene que esta disciplina es "el lenguaje básico de la ciencia" y resulta "fundamental" para entender el mundo natural, por cuanto hace posible cuantificar los acontecimientos y crear fórmulas abstractas para predecir su comportamiento. Apunta que las matemáticas siempre han experimentado una evolución constante, en la que cada nueva etapa responde a las preguntas de la anterior y a su vez plantea nuevos problemas.<br /><br />Para Michael Atiyah, conocido por sus aportaciones a la geometría, las matemáticas han registrado una evolución en las dos últimas décadas del siglo XX mucho mayor que en siglos previos, pero es difícil predecir hasta dónde seguirá la progresión. "No se puede adivinar hasta cuándo seguirán evolucionando las matemáticas. Quizás durante doscientos o mil años más pero, probablemente, siempre seguirán progresando porque surgen nuevos problemas e ideas, y por lo tanto se desarrollan nuevas técnicas para responder a estas preguntas", precisa. Siempre surgen nuevas herramientas matemáticas para explicar los problemas y se trata de tener un método que unifique sus modelos, añade el científico.<br /><br />Las matemáticas se aplicaban en el pasado principalmente a la física, la química y la ingeniería, mientras que actualmente lo hacen a la medicina, la biología, la genética o la estadística. De esta forma se intenta crear modelos matemáticos que expliquen cómo se expande una enfermedad, la manera en que trabaja el cerebro o incluso cómo se cura una herida, y también las matemáticas resultan de gran ayuda para campos como la psicología o la neurofisiología, añade Atiyah. Al final, las matemáticas pueden ayudar a resolver problemas "casi filosóficos" y el científico se pregunta si la evolución de las especies habría producido animales totalmente distintos a los actuales si su combinación matemática hubiera sido diferente.<br /><br />Asegura que aunque el cerebro humano tiene límites es capaz de crear los sistemas que le proporcionan ayuda, como la informática, y por ello es optimista acerca del papel que pueden tener las matemáticas en el futuro. "Las matemáticas son el resultado de muchos siglos de desarrollo y en ellos se han ido sofisticando y complicando, así que la cuestión es: no son fáciles", subraya el investigador. De hecho Atiyah destaca que la teoría matemática ha sido creada por el cerebro humano que, paradójicamente, aún no ha sido capaz de resolver parte de los problemas que plantea esta ciencia. Sin embargo, puntualiza, lo importante es que el ser humano puede llegar a solucionar un problema matemático por diferentes vías, y la ciencia radica en la forma de llegar a ellas.<br /><br />Comprende también que haya estudiantes que prefieran "jugar al fútbol" cuando perciben la dificultad de las matemáticas, lo que supone un error porque esta ciencia "se construye como una escalera: primero tienes que pasar por el primer escalón antes de llegar al segundo".<br />EFEAntoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-27280333931597117992009-03-23T06:28:00.000-07:002009-03-23T06:31:17.344-07:00CONCURSO DE FOTOGRAFÍA<div style="text-align: justify;">Con el objeto de desarrollar la creatividad artística en los centros<br />de educación secundaria, se convoca la segunda edición del<br />concurso de fotografía Prisma Didáctico para alumnos,<br />profesores y comunidad educativa en el área del Centro de<br />Profesores de Tomelloso.<br />1.- OBJETO DE LA CONVOCATORIA<br />Constituye el objeto de la presente convocatoria la organización,<br />selección y en su caso premio a fotografías en torno al tema<br />NUESTRO ENTORNO NATURAL,<br />2.- CATEGORÍAS Y PREMIOS<br />Se establecen tres categorías:<br />1. Alumnos de ESO.<br />2. Alumnos de Bachillerato y Ciclos Formativos.<br />3. Profesores, padres y demás miembros de la comunidad<br />educativa.<br />Cada categoría tendrá asignado un primer premio de diploma y<br />cámara digital.<br />3.- PARTICIPANTES<br />Podrán participar en cada una de las modalidades todos los<br />alumnos matriculados durante el curso 2008/2009 en cualquiera<br />de los centros de la zona educativa del CEP de Tomelloso<br />(Tomelloso, Socuéllamos, Argamasilla de Alba y Ruidera),<br />profesorado de esta zona educativa, padres y resto de personas<br />pertenecientes a la comunidad educativa en esta zona. Cada<br />participante podrá presentar una única fotografía que ha de ser,<br />bajo exclusiva responsabilidad de los participantes, original e<br />inédita, lo que implica que no haya sido publicada ni premiada<br />con anterioridad.<br />La posible existencia de derechos de terceros sobre las<br />obras presentadas será de la exclusiva responsabilidad de<br />los participantes.<br />4.- CONDICIONES TÉCNICAS DE LAS OBRAS<br />Las fotografías podrán ser analógicas o digitales, en blanco<br />y negro o color, estén o no modificadas a través de<br />fotocomposición, fotomontaje, ordenador, etc.<br />Las fotografías se presentarán impresas en papel sin montar<br />ni enmarcar en ningún tipo de soporte, en tamaño máximo<br />de 30x40 y mínimo DIN A4, omitiendo en ella cualquier tipo<br />de información que pueda facilitar la identidad sobre su<br />autoría.<br />5.- FORMA, LUGAR Y PLAZO DE PRESENTACIÓN<br />Las fotografías y el resto de documentación se presentarán<br />en un sobre en el que se especificará “II Concurso de<br />fotografía Prisma Didáctico”. El sobre se podrán enviar o<br />entregar en las siguientes direcciones:<br />· Centro de Profesores de Tomelloso. C/ Concordia,<br />s/n. 13700 Tomelloso.<br />· IES Airén. Avda. Juan Carlos I, s/n. 13700 Tomelloso.<br />La fotografía llevará en su reverso un título que haga<br />referencia al tema al que deben ajustarse las obras, así<br />como la categoría por la que se participe.<br />Junto a la fotografía se incluirá un sobre cerrado donde<br />aparecerá en el exterior, el título de la obra y la categoría por<br />la que se desea participar y en su interior se incluirán, los<br />datos personales del concursante (nombre, apellidos, DNI y<br />teléfono), así como, en el caso de los alumnos, certificado<br />de matrícula donde se acredite la pertenencia del alumno a<br />la categoría por la que se desea participar.<br />El plazo de presentación de fotografías originales finalizará el 8<br />de mayo.<br />6.- JURADO<br />El jurado estará compuesto por tres profesores, un<br />representante de los alumnos y otro representante de la<br />comunidad educativa.<br />El jurado procederá a la emisión del fallo conforme a los<br />siguientes criterios de selección: adecuación a la temática del<br />concurso, calidad artística, originalidad, impacto visual, dificultad<br />y calidad técnica de la fotografía.<br />La decisión del jurado será inapelable.<br />7.- OBRAS SELECCIONADAS<br />Las obras seleccionadas serán expuestas antes de que finalice<br />el curso. Entre dichas obras se otorgarán los premios de las<br />respectivas categorías.<br />Información complementaria (premiados, calendario de<br />exposición, etc.) aparecerá en los siguientes sitios:<br />http://www.jccm.es/edu/cpr/tomelloso/<br />http://www.iesairen.wordpress.com<br />Las obras premiadas podrán ser objeto de ulterior publicación,<br />para lo cual se entienden cedidos los derechos por la mera<br />participación en el concurso.<br /></div>Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-11309217713527080192009-03-15T12:41:00.000-07:002009-03-31T02:25:16.897-07:00MOSAICOS EN LA ALHAMBRA<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhwX-BqDRb-NSeGKtVtyPpnOPg_Et1QYN-EkmZnloVcF_mvzbZu5y3PIhQecuDM40ONObX0BXcOZ4CPlYvV7p1zEsE65T-a4xVFXFG3ZEJqAOrF7l7qj5ytD9RvssmcmNRdyg6Xg91JNQgC/s1600-h/mosaico+5.bmp"><img id="BLOGGER_PHOTO_ID_5313508002581363634" style="DISPLAY: block; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 400px; CURSOR: hand; HEIGHT: 308px; TEXT-ALIGN: center" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhwX-BqDRb-NSeGKtVtyPpnOPg_Et1QYN-EkmZnloVcF_mvzbZu5y3PIhQecuDM40ONObX0BXcOZ4CPlYvV7p1zEsE65T-a4xVFXFG3ZEJqAOrF7l7qj5ytD9RvssmcmNRdyg6Xg91JNQgC/s400/mosaico+5.bmp" border="0" /></a><br /><div>Un mosaico es una composición con losetas que reproduce un paisaje o una figura. Cuando las losetas llenan el plano basándose en simetrías, desplazamientos y rotaciones, estamos ante un mosaico geométrico. De estos últimos vamos a hablar ahora.</div><br /><div>Para rellenar un plano con losetas (teselar el plano)de forma periódica, existen cuatro estrategias:</div><br /><div>1.-Traslación. Es como si la nueva loseta que añadimos fuera una anterior desplazada a una nueva posición sin giros de ningún tipo.</div><br /><div>2.-Rotación. La nueva loseta surge por el giro de una anterior con centro en algún punto determinado y con un ángulo concreto.</div><br /><div>3.-Reflexión. Cada loseta nueva es la imagen especular de una anterior, con un eje de simetría dado.</div><br /><div>4.-Simetría con deslizamiento. Se trata de una reflexión seguida de una traslación en la dirección del eje de reflexión.</div><br /><div>Estas cuatro estrategias se denominan movimientos en el plano, y son isometrías: conservan las distancias. Los dos primeros conservan la orientación( movimientos directos), y los dos últimos la invierten (movimientos inversos). Esto es importante, porque cada loseta puede tener dibujos asimétricos que hagan variar la composición. Estas transformaciones se combinan entre ellas dando lugar a estructuras algebraicas que se denominan grupos de simetrías, en este caso Grupos cristalográficos planos. Pues bien, Fedorov demostró en 1891 que no hay más de 17 estructuras básicas para las infinitas decoraciones posibles del plano formado mosaicos periódicos. Son los 17 grupos cristalográficos planos. Cada uno de ellos recibe una denominación que procede de la cristalografía, y se pueden clasificar según la naturaleza de sus giros. Los 17 grupos de simetría del plano se pueden agrupar en cinco apartados, según el orden máximo de los giros:</div><br /><div>- Grupos de simetría sin giros: 4 grupos de simetrías..</div><br /><div>- Grupos de simetría con giros de 180º: 5 grupos de simetrías.</div><br /><div>- Grupos de simetría con giros de 120°: 3 grupos de simetrías</div><br /><div>- Grupos de simetría con giros 90°: 3 grupos de simetrías.</div><br /><div>- Grupos de simetría con giros de 60°: 2 grupos de simetrías.</div><br /><div>Los árabes fueron unos excelentes creadores de mosaicos geométricos. Dado que su religión les impedía dibujar personas o animales; su creatividad se decantó hacia la caligrafía y los dibujos geométricos, en los que alcanzaron cotas de belleza y complejidad difícilmente superables. Los creadores de los mosaicos de la Alhambra no podían conocer el teorema de clasificación de Fedorov, y por lo tanto no conocían cuántos grupos de simetrías podían usarse para rellenar el plano con losetas (teselación del plano), por eso resulta impactante que conocieran todos y cada uno de los 17 existentes. Efectivamente, todos ellos están representados en los variados y bellísimos mosaicos de la Alhambra. Abundan los que tienen giros de 90º mientras que algunos grupos aparecen escasamente, pero absolutamente todos están representados. Todo lo relatado en este artículo se refiere a telesaciones periódicas del plano. En los últimos tiempos se han descubierto novedosas maneras de telesar un plano por procedimientos no periódicos, de la mano del famoso matemático y especialista de la relatividad general Roger Penrose, autor además de algún que otro best seller como "La nueva mente del emperador".</div>Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-174797995152935502009-03-02T09:44:00.000-08:002009-03-02T09:46:12.027-08:00¿Matemáticas en la Naturaleza o en el cerebro humano?¿Es Dios un matemático?<br />Mario Livio se cuestiona si las matemáticas están en la Naturaleza o en el cerebro<br />El astrofisico Mario Livio, autor de diversas obras, acaba de publicar el libro Is God a Mathematician? (¿Es Dios un matemático?), en el que trata de dar respuesta a una importante cuestión: ¿existen leyes matemáticas en la Naturaleza o, por el contrario, es nuestro cerebro el que las crea? A lo largo de la historia se ha intentado resolver este enigma, tal y como demuestra el autor en una revisión histórica que va desde Platón hasta la teoría del multiverso. Livio, por su parte, propone distinguir entre descubrimiento e invención: por un lado, hay conceptos matemáticos que han sido inventados pero, por otro, las matemáticas reflejarían una parte de las propiedades de la Naturaleza. En cuanto a Dios, y a pesar del título del libro, el autor señala que las matemáticas hace tiempo que han dejado de buscar su demostración, aunque no renuncian al concepto de infinito.<br /><a title="Mario Livio" href="javascript:void(0)" rel="http://www.tendencias21.net/photo/grande-1255504-1640042.jpg?ibox"></a><br /><a class="liens" onclick="window.open(this.href,'_blank');return false;" href="http://www.mariolivio.com/about-the-author/">Mario Livio</a> es un astrofísico del <a class="liens" onclick="window.open(this.href,'_blank');return false;" href="http://www.stsci.edu/resources/">Hubble Space Telescope Science Institute</a> de Estados Unidos que ha escrito varios libros, como <a class="liens" onclick="window.open(this.href,'_blank');return false;" href="http://books.simonandschuster.com/Equation-that-Couldn">The Equation that Couldn't Be Solved</a> o <a class="liens" onclick="window.open(this.href,'_blank');return false;" href="http://www.amazon.com/Golden-Ratio-Worlds-Astonishing-Number/dp/0767908163/ref=pd_bxgy_b_img_b">The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number</a>. En su última obra, publicada a principios de este mismo año bajo el título <a class="liens" onclick="window.open(this.href,'_blank');return false;" href="http://www.amazon.com/God-Mathematician-Mario-Livio/dp/074329405X">Is God a Mathematician?</a> (¿es Dios un matemático?) , Livio trata de dar respuesta a la cuestión de si las matemáticas preexisten en la Naturaleza, independientemente del cerebro humano o, por el contrario, son una construcción de éste. Desde la antigüedad y hasta hoy, los científicos y los filósofos se han maravillado de cómo una disciplina tan aparentemente abstracta es capaz de explicar de una forma tan perfecta el mundo natural. Por ejemplo, a menudo, los matemáticos han podido hacer predicciones sobre partículas subatómicas o fenómenos cósmicos desconocidos en ese momento, que posteriormente han quedado demostrados. La cuestión es ¿las matemáticas se inventan o se descubren? Si, como Einstein insistió, las matemáticas son un producto del pensamiento humano, independiente de la experiencia, ¿cómo puede ser que describan e incluso predigan el mundo que nos rodea? Revisión histórica ¿Son las matemáticas realidades de la naturaleza, independientes del mundo material, que los hombres descubren progresivamente? ¿O son, por el contrario, la traducción que hace el espíritu humano (o nuestro cerebro) de estructuras o leyes preexistentes en el mundo material antes de que los matemáticos las observen? Livio repasa en su obra las diversas respuestas que han tenido estas preguntas a lo largo de la historia. En primer lugar, la tradición platónica señalaba que estas leyes existirían más allá del mundo material, en el mundo de las ideas. El hombre, por sus limitaciones, no podría tener acceso a ese mundo de las ideas, pero se acercaría a él mediante el razonamiento. Así que, según el platonismo, el ser humano no inventaría las matemáticas, sino que las descubriría infinitamente, puesto que nadie puede fijar el límite del mundo de las ideas. Las hipótesis contructivistas, por su parte, señalan que existen leyes de la causalidad en el universo a todos los niveles de éste: en el cosmos, en la física microscópica, en biología, etc. Otras interpretaciones Los humanos observan los fenómenos siguiendo estas causalidades y se esfuerzan en hacer aparecer, a partir de ellas, regularidades, utilizando para esta labor herramientas de las que la evolución ha ido dotando al cerebro. Así, poco a poco, la evolución del homo sapiens ha permitido refinar los recursos matemáticos del ser humano para establecer cada vez más regularidades, pero eso no significa que los objetos matemáticos se encuentren en la Naturaleza. Éstos son, simplemente, una categoría particular con la que el cerebro representa el mundo a partir de las observaciones de nuestros sentidos. Otras interpretaciones más actuales de las matemáticas señalan, por ejemplo, que el universo no es que sea compatible con las matemáticas sino que en sí mismo es matemático <a class="liens" onclick="window.open(this.href,'_blank');return false;" href="http://en.wikipedia.org/wiki/Max_Tegmark">(Max Tegmark)</a> o que el cosmos es como un ordenador cuántico cuya evolución podría programarse utilizando la potencia de algoritmos de informática cuántica <a class="liens" onclick="window.open(this.href,'_blank');return false;" href="http://en.wikipedia.org/wiki/Seth_Lloyd">(Seth Lloyd)</a>. Dos papeles de las matemáticas Para Livio, las matemáticas juegan un doble papel: activo y pasivo. El primero de ellos consiste en el uso continuo de herramientas matemáticas en las ciencias.<br /><a title="¿Es Dios un matemático?" href="javascript:void(0)" rel="http://www.tendencias21.net/photo/grande-1255504-1640043.jpg?ibox"></a><br />El rol pasivo, por su parte, sería el de aquellos postulados, conceptos y ecuaciones desarrolladas por los matemáticos durante siglos sin referencia alguna a la experiencia, y que súbitamente pueden revelarse como muy precisos y útiles para representar matemáticamente objetivos de observación recientes. Por ejemplo, el descubrimiento del matemático griego <a class="liens" onclick="window.open(this.href,'_blank');return false;" href="http://en.wikipedia.org/wiki/Menaechmus">Menaechmus</a> (350 a.C.) de la elipse permitió a Kepler y a Newton representar con suficiente precisión las trayectorias de los planetas. Asimismo, Livio propone distinguir entre descubrimiento e invención. Por un lado, hay conceptos matemáticos que han sido inventados pero, por otro, las matemáticas reflejarían una parte de las propiedades de la Naturaleza. Dios y el infinito Para Livio estas cuestiones tienen una enorme importancia, tanta que el autor las equipara a cuestiones relacionadas con Dios. Así, escribe: “si se piensa que comprender si las matemáticas fueron inventadas o descubiertas no es tan importante hay que considerar la gran diferencia entre “inventado” o “descubierto” en la siguiente pregunta: ¿fue Dios descubierto o inventado? O ¿crearon los hombres a Dios a su imagen y semejanza o fue Dios el que los creó a su propia imagen y semejanza?” Sobre las hipótesis de la existencia de Dios y del infinito, Livio aclara la diferencia entre ambos conceptos para las matemáticas. Ésta radicaría en que los científicos no se han cansado de concretar el concepto de infinito, últimamente en la cosmología de los <a class="liens" onclick="window.open(this.href,'_blank');return false;" href="http://www.tendencias21.net/La-idea-de-multiples-universos-es-mas-que-una-fantastica-invencion_a1955.html">multiversos</a>. Pero por el contrario, han renunciado desde hace mucho a proporcionar pruebas científicas de la existencia de Dios.<br />Lunes 02 Marzo 2009<br />Yaiza MartínezAntoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-43628091639626935542009-02-27T03:05:00.001-08:002009-03-02T03:52:31.644-08:00PROGRAMA ESTALMAT<span class="texto_noticia"><p>"No me considero en absoluto una mente privilegiada", le cuenta María Rodríguez a AULA en una de las clases de Estalmat en Madrid. "Se nos dan bien las Matemáticas, pero sólo porque aplicamos bien la lógica donde hay que aplicarla", añade su compañero Fabián López.</p> <p>Tanto María, de 14 años, como Fabián, de 13, acuden<strong> los sábados por la mañana</strong> a la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense para desarrollar su capacidad matemática con explicaciones y problemas que se discuten en grupo.<br /><br />Como ellos, <strong>más de 500 jóvenes de ocho comunidades</strong> (Madrid, Cataluña, Andalucía, Canarias, Castilla y León, Valencia, Galicia y Cantabria) participan en un proyecto de detección y estímulo del talento precoz en Matemáticas denominado ESTALMAT.</p> <p>"A la prueba de selección de Madrid, que se celebra siempre en mayo, se presentan unos 300 candidatos cada año y la superan sólo 25" explica Mercedes Sánchez, profesora de la iniciativa.<br /><br />Los <strong>chicos, de entre 12 y 14 años</strong>, tienen que vérselas con seis problemas en los que lo más importante no es dar con la solución. "Nos fijamos en cómo organizan las cosas, en qué ideas les sugiere el planteamiento, en su visión geométrica, etc". Para finales de junio la selección suele estar concluida, y a comienzos de septiembre los elegidos acuden a un campamento en la sierra en el que empiezan a conocerse.</p> <p>"En Navidad nos organizaron un concurso llamado Matemáticas al Sprint en el que las distintas comunidades competíamos on-line" recuerda Fernando de Meer, de 13 años. "Fue genial", dice Marta Lorente, también de 13, "teníamos que resolver problemas en el menor tiempo posible y consultando con los compañeros, como en los programas de la tele".</p> <p>La mayor parte de los estudiantes que terminan el programa se matricula en la universidad en Matemáticas y en Informática. "Yo, en cambio, <strong>quiero estudiar Arquitectura o Diseño de Modas</strong>", opina María Rodríguez, "por eso la Geometría es lo que más me gusta".<br /><br />En este campo, los alumnos disponen de equipos con un programa específico que les permite desarrollar trabajos creativos como la reconstrucción, por ejemplo, de un mosaico de la Alhambra. Si quieres ser el primero en enterarte de la convocatoria de las próximas pruebas para Estalmat, puedes consultar su web (<a target="undefined" href="http://www.estalmat.org/">www.estalmat.org</a>) a partir del próximo mes de abril.</p><p>Artículo de Manuela Ortega en www.elmundo.es<br /></p></span>Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-34447305443252318392009-02-24T11:30:00.000-08:002009-03-02T03:53:25.045-08:00PAPIROFLEXIA<span class="A3"> La primera vez que la gente ve los trabajos de papiroflexia se queda atónita. Esperan el típico barquito, pero en lugar de eso se encuentran con una figura tan elaborada que no parece posible que pueda construirse. ¿Una mariposa con cuatro alas, seis patas, dos antenas, una cabeza y una cola... hecha sin cortar ni pegar? Dudoso. ¿Un caballero negro en un caballo blanco conseguido con solo una hoja de papel? Poco probable. ¿Una serpiente de cascabel de 90 centímetros de longitud a partir de una hoja cuadrada de 25 centímetros? ¡Imposible! Para hacer objetos (los aficionados les llaman modelos) tan complejos como estos se recurre a una tradición con siglos de antigüedad en la historia de la papiroflexia, añadiendo capa por capa de complejidad a las sencillas formas creadas por los antiguos maestros japoneses. Los japoneses inventaron la papiroflexia hace más de mil años. Le dieron el nombre de Origami y la dotaron de principios estéticos surgidos del corazón de su cultura. <img src="http://www.matematicas.net/gifs/origami/arana.gif" align="right" width="175" height="172" hspace="0" /></span> <p class="A3" align="justify"> Unos cuantos pliegues sencillos evocan un animal; si se modifica ligeramente la secuencia, aparece una bestia completamente distinta. Para la sensibilidad japonesa, el éxito de una figura Origami depende del ojo de su creador para la forma, la estructura y la proporción. ¿Llega a capturar la forma verdadera de la criatura? ¿Sugiere la forma de moverse del animal, su zancada, deslizamiento o galope? Y por ultimo, ¿es una mera reproducción del original o ahonda más profundamente en su carácter esencial? Para el matemático, la belleza del origami es su simple geometría. Latentes en cada trozo de papel hay patrones geométricos, combinaciones de ángulos y radios que permiten a la hoja asumir interesantes formas. El matemático se pregunta: ¿consigue el diseño final mayor utilización de la geometría existente? ¿Es elegante el procedimiento de doblado, con líneas duras, dobleces compactos, proporciones sencillas y regulares? ¿No hay papel desperdiciado, grosores desagradables o dobleces arbitrarios? ¿Se sirve a la utilidad en cada paso ?</p> <p class="A3" align="justify"><img src="http://www.matematicas.net/gifs/origami/camaleon.gif" align="left" width="232" height="100" hspace="0" /> Un verdadero trabajo de Origami ejemplifica tanto los patrones de belleza del artista como los del matemático. Se realiza a partir de un cuadrado de papel sin cortes. Es anatómicamente exacto -un requerimiento americano, no japonés- aunque sugiere más de lo que muestra. Emplea técnicas de doblado que son a menudo inesperadas pero nunca arbitrarias, y cuya lógica puede ser comprendida por un espectador solo cuando se haya completado la figura.</p> <p class="A3" align="justify"><img src="http://www.matematicas.net/gifs/origami/base2.jpg" align="right" border="1" width="400" height="178" hspace="4" /> Los modelos tradicionales de derivan de cuatro bases fundamentales. Base en un termino que los aficionados japoneses utilizan para denominar las formas geométricas que dan lugar a un variedad de modelos.</p> <p class="A3" align="justify"> Los japoneses desarrollaron cuatro, conocidas como la base de la cometa, la del pez, la del pájaro y la de la rana. Cada base ofrece una configuración diferente de pliegues que pueden utilizarse para representar partes de un animal: cabeza, cuellos, brazos, piernas, alas, cuernos, antenas, cola. La base de cometa tiene un pliegue, la del pez dos, la del pájaro cuatro, y la de la rana cinco.</p> <p class="A3" align="justify"> Pero las ¿es posible que estas cuatro sencillas bases acaben con el potencial del cuadrado? ¿Es todo lo que el Origami puede ofrecer? El mundo a nuestro alrededor es geométrico. Las resquebrajaduras en la porcelana casi siempre se cruzan en ángulos de 90 grados. Los pétalos de un girasol y los cuernos de una cabra montesa crecen en espirales logarítmicas. Si examinamos la naturaleza, podremos ver en ella complejos patrones de diseño, mapas que llevan hacia fuerzas en conflicto. Cada configuración esta compuesta de unos pocos elementos sencillos. Aparecen en distintos ordenes de magnitud, recombinados, revueltos, .. pero siempre idénticos. Enteros, o a tamaños medio, de un cuarto, de una octava parte, también dobles, cuádruples.. Ya que la apariencia es independiente de la escala, esta propiedad de los diseños es conocida como autosimiliridad.</p> <p class="A3" align="justify"><img src="http://www.matematicas.net/gifs/origami/corazon2.gif" align="right" width="195" height="100" hspace="0" /> Lo curioso es que tantos procesos y objetos posean esta propiedad . Los ríos se ramifican en riachuelos, los riachuelos en arroyos, y los arroyos en corrientes cada vez más y más pequeñas. En los pulmones, los vasos sanguíneos pasan por unas 15 bifurcaciones similares a si mismos antes de alcanzar el tamaños de los capilares donde termina la autosimilaridad. Un proceso iterativo es un eficiente mecanismo para generar estructuras elaboradas con un mínimo gasto de energía e información. Se lleva a cabo una operación y esta produce un resultado, que llamamos x. Este resultado vuelve a introducirse en el proceso para producir otro resultado x, y así sucesivamente. Cada paso es una iteración; el proceso entero se suele denominar bucle de realimentación. Durante los últimos 40 años, los procesos iterativos han pasado por el escrutinio de cristalografos, biólogos, genetistas e investigadores en inteligencia artificial.</p> <p class="A3" align="justify"> La mejor manera de entender un modelo Origami es dibujar lo que se suele llamar un patrón doblado. Para derivar el patrón de doblado de un modelo hay que desdoblar el papel, dejarlo liso, y dibujar sus dobleces más importantes; no los detalles, sino los que contienen su geometría esencial. El patrón de doblado es, por necesidad, una abstracción, la reducción de una forma complicada a su estructura interna.<br /> <img src="http://www.matematicas.net/gifs/origami/base1.jpg" align="left" border="1" width="350" height="235" hspace="4" /></p> <p class="A3" align="justify"> Dibujando los patrones de doblado de las cuatro bases fundamentales descubrimos una notable progresión. La más simple, la base de la cometa, esta constituida por seis triángulos, dos de un tipo y cuatro de otro. Un triángulo pequeño y dos grandes forman un modelo repetitivo. Al desdoblar el modelo, reconocemos los mismos elementos simples una y otra vez. Dos módulos forman una base de cometa; cuatro una de pez; ocho, una de pájaro; ¡dieciséis una de rana! Repetir el modulo en escalas más y más pequeñas lleva inexorablemente de la base de la cometa a la de pez, de la de pez a la de pájaro, de la de pájaro a la de rana. Hasta ahí es hasta donde llegan los japoneses. Pero no hay ninguna razón para detenerse en este punto.</p> <p class="A3" align="justify"> La operación para reproducir bases se convierte en un bucle de realimentación.</p> <p class="A3" align="justify"> En resumen, dependiendo de las preferencias de cada doblador, el ORIGAMI puede considerarse como arte, o como ciencia, Los pliegues no son más que transformaciones geométricas ( simetrías, giros, translaciones), a veces bastantes complejas, y pueden ser estudiadas en términos geométricos, topológicos... Puede mencionarse los dobladores que usan la papiroflexia para demostrar teoremas geométricos, incluso hay algún que otro libro sobre resolución de ecuaciones de tercer grado, o sobre topología algebraica basados ni más ni menos que en el ORIGAMI.<br /></p><p class="A3" align="justify">Se puede ver más en:</p><p class="A3" align="justify">www.matematicas.net</p><p class="A3" align="justify"><br /></p>Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-5171723475682593122009-02-19T01:59:00.000-08:002009-02-19T02:01:43.564-08:00MATEMÁTICAS PARA INTERPRETAR LA VIDA<b></b>Los estudiantes que temen las matemáticas se preguntan a menudo de qué les servirá en la vida saber de ecuaciones o álgebra. Las investigaciones que se realicen en BCAM (siglas en inglés de Centro Vasco de Matemáticas Aplicadas), el nuevo centro científico promovido por el Departamento de Educación, mostrarán a quien se haga esa pregunta que las matemáticas resultan claves en infinidad de actividades de las sociedades modernas: diseñar aeronaves, encontrar petróleo, descontaminar suelos e incluso detectar tumores. Su director, Enrique Zuazua, Premio Euskadi de Investigación 2006 y Premio Nacional de Investigación Julio Rey Pastor en Matemáticas, presentó ayer la iniciativa con el consejero, Tontxu Campos, y el rector de la Universidad del País Vasco (UPV), Juan Ignacio Pérez.<br /><br />"Nos dedicamos al análisis de modelos matemáticos que, gracias a la infinita capacidad de cálculo y la posibilidad de visualizar y interpretar datos que aportan los ordenadores, reproducen con fidelidad fenómenos de la naturaleza, de las ciencias y la tecnología. Es decir, nos ocuparemos de la energía, la biología o los materiales sin dejar de ser matemáticos", resume Zuazua. Para ello, ha empezado a gestar acuerdos con agentes como la UPV, centros tecnológicos vascos e incluso ha suscitado la atención de instituciones como la Academia China de las Ciencias.<br /><br />El centro, sito en el Parque Tecnológico de Zamudio hasta que se construya su sede definitiva en el futuro Parque Científico de la UPV, cuenta con un equipo de 10 investigadores y tres gestores dedicados a tres grandes áreas de investigación. La centrada en multifísica e inversión emplea métodos numéricos avanzados para simular y analizar, con ayuda de grandes ordenadores, distintos fenómenos físicos. Se emplea entre otras aplicaciones para recrear la aerodinámica y la acústica de un avión o mejorar la detección de hidrocarburos en reservas petrolíferas. También resulta útil para la medicina, ya que ayuda a detectar los tumores en el cuerpo humano analizando los datos de las resonancias magnéticas y ecografías.<br /><br />Las aplicaciones de la segunda línea de investigación, en la que se desarrollarán además modelos teóricos para estudiar la comunicación en red, se centrarán en mejorar Internet: optimizar la calidad de sus infraestructuras, sus aplicaciones (por ejemplo, las redes persona a persona P2P, como las que usan los programas E-mule y Skype) y las redes inalámbricas.<br /><br />Zuazua lidera un grupo que abarca otras tres disciplinas: control y optimización, análisis numérico y ecuaciones derivadas parciales. La primera permite hallar cómo se configura de manera óptica un mecanismo o proceso. "Vale tanto para diseñar una aeronave como un circuito de refrigeración para una grande superficie", explica Zuazua. Se utiliza también para descontaminar aguas y suelos.<br /><br />El análisis numérico "permite traducir todo lo que el ser humano crea por abstracción" a imágenes, vídeos u otros formatos que se puedan visualizar con un ordenador. Por último, las ecuaciones en derivadas parciales facilitan estudiar los fenómenos en que intervienen los factores espacio y tiempo. "Ya las empleaban Galileo y Newton para describir todo lo que se mueve", pero hoy se usan también en ámbitos tan diversos como los aerogeneradores eólicos, las piscifactorías o el estudio del flujo de la sangre en el sistema cardiovascular.<br /><br />El centro está gestando otras líneas de investigación que relacionan las matemáticas con la biología y con la física de materiales. Para ello, busca atraer a través de su web (www.bcamath.org) a más científicos de alto nivel. "No estudiaremos temas estáticos, sino que irán evolucionando para responder a las preocupaciones sociales de cada momento", abunda. El agua, la contaminación o las redes sociales son algunos de los futuros asuntos de interés que prevé.<br /><br />El BCAM es el segundo centro de investigación público puesto en marcha por Educación, tras lanzar BC3, centrado en el cambio climático. Zuazua, catedrático de la Autónoma de Madrid, es uno de los científicos consolidados que ha atraído la consejería a través de su fundación Ikerbasque. Tras pasar por varios proyectos europeos y de la OTAN, dirigió el centro sobre matemáticas del Instituto Madrileño de Estudios Avanzados en Matemáticas.Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-26384261067037753762009-01-22T02:31:00.000-08:002009-03-02T03:55:16.022-08:00OLIMPIADA MATEMÁTICA<div class="cuadro_multimedia"> </div>La cifras y las cuentas matemáticas siempre han sido importantes, y más ahora que nos encontramos en tiempos de crisis y hay que ajustar los balances de resultados. Las matemáticas, una ciencia tantas veces denostada, no sólo resulta importante por ser la cuna de grandes genios –así lo ha demostrado la historia–, sino que además supone un tipo de conocimiento básico para otros tantos estudios universitarios en los que la resolución de problemas matemáticos resulta fundamental.<br /><div id="noticia_texto" class="noticia_texto"><p><br />Quizás por todo ello, al margen de la mera competición, alcanza tal relevancia la olimpiada matemática local, un campeonato en el que desde hace años concurren los mejores alumnos de Secundaria y Bachillerato de los centros educativos de la provincia y que hoy, una vez más, se celebrará en la Facultad de Ciencias de la UGR.<br /><br />Los 70 adolescentes granadinos de entre 16 y 18 años más brillantes en la resolución de problemas matemáticos participarán, a partir de las nueve y media de la mañana, en una jornada maratoniana que busca a los jóvenes más destacados en estas lides. El premio es representar a la provincia en la olimpiada matemática nacional, que se celebrará este año entre los días 26 y 29 de marzo en Sant Feliu de Guíxols (Gerona). Incluso lo que tengan mayor éxito en el certamen nacional representarán a España en la Olimpiada mundial, que en esta ocasión tendrá como sede Vietnam en el mes de junio.<br /><br />Estos reconocimientos están acompañados de gratificaciones económicas para los ganadores y sus familias –380 euros para le primer clasificado–, pero todo ello no supone el único objetivo perseguido, ni por los adolescentes ni por la UGR. La institución académica también pretende ‘reclutar’ mediante este concurso a los jóvenes granadinos con más talento para la resolución de problemas matemáticos.<br /><br />La competencia entre las universidades españolas en cuestiones como la de la investigación cada vez es más dura, y por ello la UGR considera importante tener un conocimiento preciso de los adolescentes más talentosos que estudiantes en los institutos de la provincia al objeto de que no emigran a otros centros universitarios del país y puedan, en un futuro, incorporarse a los equipos de investigación de la UGR.<br /><br />“La olimpiada, pese a que este año ha visto reducido el número de participantes con respecto a otras ediciones, resulta muy atractiva para la proyección de estos jóvenes, que en cualquier caso son unos niños que en esta prueba sólo deben pretender divertirse haciendo lo que les gusta.<br /><br />En definitiva, para ellos las matemáticas son un juego y deben seguir siéndolo”, explicó Pascual Jara, director del Departamento de Álgebra de la Facultad de Ciencias y coordinador de la competición. Ha llegado, por tanto, la hora de que estos jóvenes talentos jueguen y demuestren de lo que son capaces.</p> </div>Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-29106635503370867212009-01-19T09:44:00.000-08:002009-01-19T09:53:01.018-08:00CITAS MEMORABLES SOBRE PITÁGORAS0.- Aprende lo necesario para que tu vida sea más feliz. Lo mejor en todo es la justa medida. Reflexiona sobre todo tomando como guía la recta razón. Pitágoras. Los Versos de Oro (31, 38, 68–69).<br />1.- Pitágoras exhortó al que ambicionara una auténtica fama a ser individualmente tal como quisiera parecer a los demás. [...]. Pitágoras exhortó a ejercitarse en el escuchar a fin de capacitarse para hablar. Jámblico, Vida Pitagórica. ( IX.49, p.43 ; X.53, p.45).<br />2.- Para Pitágoras la primera esencia era la naturaleza de los números y proporciones que se extienden a través de todas las cosas, de acuerdo con los cuales todo está armónicamente dispuesto y convenientemente ordenado. Jámblico, Vida Pitagórica., XII.59, p.49.<br />3.- Pitágoras fue el primero en usar el nombre de Filosofía y se llamó a sí mismo filósofo o amante de la sabiduría. [...]. “Ninguno de los hombres, dijo Pitágoras, es sabio: sólo lo es Dios”. Diógenes Laercio. Vida de los filósofos más ilustres. Libro I. Proemio.VIII, pp.11–12.<br />4.- En Roma nadie era considerado instruido si no era pitagórico. Cicerón (Tusculanas, I.1, XVI).<br />5.- El mundo platónico de las ideas es la forma revisada y refinada de la doctrina pitagórica de que el número es la base del mundo real. A.Whitehead.La Matemática en la Historia del Pensamiento (en SIGMA, el mundo de las Matemáticas, Vol.1, p.332).<br />6.- En el númeroreside, como lo comprendió Pitágoras con la íntima certidumbre de una sublime intuición religiosa, la esencia de todo lo real. [...] La afirmación pitagórica de que el número es la esencia de todas las cosas aprehensibles por los sentidos siegue siendo la más valiosa proposición de la Matemática antigua. O.Spengler. El sentido de los números (en La decadencia de Occidente. Cap.I.1). Austral, Madrid, 1998, pp.132,148.<br />7.- Pitágoras es un gran pensador cuya escuela estableció una relación entre las Matemáticas, la Ciencia y la Filosofía que no se ha perdido nunca. J.Bernal. Historia social de la Ciencia. Península, Barcelona, 1979 vol.1. pp.149–150.<br />8.- La Matemática nace a la sombra de la metafísica pitagórica fundada en la omnipresencia y omnipotencia del numero. J.Babini. Arquímedes: El Método. Eudeba, Buenos Aires, 1966, p.14.<br />9.- Pitágoras fue el primer pensador que intentó conciliar las Matemáticas con la Filosofía, una de las mayores aportaciones realizadas a la civilización a lo largo de toda la historia. Desde entonces, las Matemáticas han mantenido una estrechísima relación con la Filosofía y la Ciencia, hasta el punto de que algunos de los más grandes filósofos han sido también grandes matemáticos. B.Mage. Historia de la Filosofía, Blume, Barcelona, 1988. p.15.<br />10.- Pitágoras es intelectualmente uno de los hombres más importantes que han existido y que mayor influencia ha ejercido en la Historia del Pensamiento. Bertrand Russell. Historia de la Filosofía Occidental, Austral, vol.1, p.65<br /><br /><strong>PITÁGORAS, ENTRE LA HISTORIA Y LA LEYENDA<br /></strong>Además de su decisiva contribución al acervo matemático griego, Pitágoras es el principal responsable –a través de la práctica de la demostración– del nacimiento en Grecia de la Matemática racional como ciencia especulativa y deductiva. Es sin duda, además, el matemático más conocido. Pero más allá de la Matemática, en el ámbito más general de la Historia de la Cultura, Pitágoras es realmente un personaje muy célebre. Su figura es una de las más apasionantes de la Historia del Pensamiento. Racionalista y místico, filósofo y teólogo, matemático y experimentador, sabio y profeta, maestro y asceta, psicólogo y orador, promotor religioso y taumaturgo, interrogador del Cosmos e instaurador de un estilo de vida, gran conversador y amante del silencio reflexivo, hombre de carne y hueso y personaje mítico, Pitágoras es el primigenio inductor de una parte considerable de los elementos culturales que al configurar en gran medida el pensamiento platónico, influyeron de forma decisiva sobre la ciencia alejandrina y el primer Cristianismo y dejaron una estela que ha pervivido a lo largo de los tiempos y ha conformado la tradición del pensamiento occidental hasta nuestros días, lo que convierte a Pitágoras en uno de los personajes más influyentes en la Historia de la Cultura y del Pensamiento.<br />Como filósofo del número, para Pitágoras y los pitagóricos, Filosofía, Ciencia, Matemáticas y Religión son aspectos indisociables que se integran en una apasionada actividad intelectual presidida por un misticismo de carácter aritmético–geométrico. Al acuñar para la posteridad, en el lenguaje del saber, los términos Filosofía («amor a la sabiduría») y Matemáticas («lo que se conoce», «lo que se aprende»), Pitágoras es uno de los artífices del milagro griego como principal instaurador de la tradición filosófica y matemática en occidente, contribuyendo su legado de forma incuestionable a establecer una íntima y duradera relación entre Matemática, Ciencia y Filosofía.<br />Entre la historia y la ficción, la extraordinaria figura de Pitágoras ha sido muy controvertida, estando inmersa en un halo misterioso que envuelve a leyendas y tradiciones sobre el personaje. Se ha llegado incluso a dudar de su existencia. El mismo Aristóteles que vivió tan sólo doscientos años después de Pitágoras, es muy cauto y no se compromete, a pesar de la tradición, con atribuciones personales a Pitágoras de doctrina matemática, musical o cosmológica alguna y prefiere hablar de los pitagóricos más que de Pitágoras, a quien, mencionando sólo en dos ocasiones, parece poner en entredicho su existencia real. Estas suposiciones son desmentidas por algunos documentados testimonios de Heráclito y Herodoto. Actualmente la investigación histórica parece haber dejado fuera de toda duda la historicidad de Pitágoras, pero de todas formas la figura histórica de Pitágoras ha sido muy edulcorada por parte de quienes más que biógrafos son hagiógrafos, sobre todo Diógenes Laercio y Porfirio, del siglo III d.C. y Jámblico, del siglo IV. Lástima que la obra de Aristóteles Sobre los Pitagóricos se haya perdido, aunque es plausible que en ella se hallara más doctrina pitagórica que biografía del maestro. Durante mucho tiempo hubo un gran escepticismo sobre la verosimilitud de las biografías de Pitágoras, atribuyéndoles más novela que historia, ante el estilo laudatorio sobre las peripecias científicas y las enseñanzas religiosas del sumo pontífice del Pitagorismo. Actualmente, la investigación y la crítica histórica de algunos eruditos han separado la ganga fantástica de la mena histórica y sobre todo tras la reciente publicación de la obra de B.L. Van der Waerden Die Pythagoreer (Zurich, 1979), se tiende a dar más credibilidad a los biógrafos aludidos considerando que ellos pudieron tal vez disponer de documentos próximos a los tiempos del Pitagorismo.<br />Pitágoras nació en la isla de Samos. Tras una exquisita formación intelectual bajo la dirección de los filósofos Ferecides y Hermodomas, es probable –y así lo asegura Jámblico– que visitara a Tales en Mileto y aprendiera directamente de él –lo que por proximidad cronológica y geográfica habría sido posible–. Avido de ampliar conocimientos, al haber agotado las fuentes del saber griego de la época, con un alma helénica, inquieta y viajera, y aconsejado por la experiencia personal de Tales, Pitágoras habría estado en Egipto y Mesopotamia, donde los sacerdotes y escribas le debieron inculcar no sólo de la ciencia exotérica, como a Tales, sino también de la ciencia esotérica que impregnaría toda su elaboración científica y la transmisión de la misma a sus discípulos. Es posible incluso que en sus peregrinaciones Pitágoras llegara hasta la India donde habría asimilado tanto conocimientos matemáticos y astronómicos como mucho bagaje religioso, en particular las doctrinas sobre la reencarnación y la transmigración de las almas, que sería un lugar común en la Comunidad Pitagórica. Incluso se le atribuyen viajes por el Mediterráneo desde Fenicia hasta las Columnas de Hércules y de aquí a las Galias y a las Islas Británicas para aprender de los druidas. El saber milenario de egipcios, fenicios, judíos, árabes, caldeos, persas, indios y druidas habría conformado, según tradiciones legendarias, la extraordinaria sabiduría de Pitágoras. Al regreso de sus viajes, Pitágoras sesienteimbuido de una función casi mesiánica de transmisión de la verdad y el conocimiento y empieza a exponer doctrina matemática, filosófica y religiosa, primero en Samos y después en Crotona, colonia dórica de la Magna Grecia, situada en la costa sudeste de Italia, donde funda una comunidad de carácter científico y religioso. La leyenda persigue a Pitágoras hasta el umbral de su muerte que se ha descrito con todo tipo deversiones más o menos peregrinas, algunas incluso de tipo violento en relación con las frecuentes hostilidades entre Crotona y Sibaris. Según lo más fiable parece ser que murió en Metaponto, hacia el año 500 a.C.<br />Pitágoras: Filosofía, Religión, Ciencia y Matemáticas.<br />Nicómaco de Gerasa (en Introducción a la Aritmética), Diógenes Laercio (en Vida de los filósofos más ilustres ) y Jámblico (en Vida pitagórica), entre otros, atribuyen a Pitágoras los términos Filosofía y Filósofo, como el amor y el amante de la Sabiduría, respectivamente.<br />Pitágoras fue el primero en utilizar el término Cosmos para describir el orden y la armonía inherentes a un universo regido por unas leyes cognoscibles e inteligibles por el hombre a través del número que es el principio elemental, «la esencia de todas las cosas», componente esencial de la armonía matemática que debe guiar, con finalidad religiosa, toda investigación sobre el universo. Pitágoras alcanzaría esta iluminación, tras sus viajes, a través de su propia reflexión sobre la sabiduría milenaria de los pueblos de Oriente Próximo. De los egipcios aprendería que las formas de las figuras geométricas se ajustan a números y proporciones y de Mesopotamia que los movimientos de los astros están regidos por leyes numéricas. De su propia experimentación, Pitágoras deduce que la armonía musical también está regida por el número. De estos tres hechos, tras una audaz extrapolación, Pitágoras estableció que «el número es la esencia del universo» y que «el número es la raíz y fuente de la naturaleza eterna».<br />Bajo estos presupuestos vitales e intelectuales, Pitágoras funda una comunidad en la que los aspectos científicos y religiosos están íntimamente asociados de forma mística. Se trata de una secta animada por el culto ritual que recuerda a los adoradores de Orfeo, donde las armonías y misterios de la Matemática y de la Filosofía eran partes esenciales y cuya influencia no tardó en hacerse sentir en toda la Magna Grecia e incluso en Roma. El principal objeto de las doctrinas pitagóricas era la purificación del alma o catarsis mediante la permanente prosecución de estudios filosóficos, matemáticos y cosmológicos, emprendidos como factores de sublimación espiritual para la dirección de la existencia, merced a la identificación intelectual –filosófica– con la gran idea divina ordenadora del universo: el número, que integra y confiere unidad a todo un sistema de pensamiento filosófico, científico y religioso. Las propias palabras Filosofía y Matemática parece que fueron acuñadas por el propio Pitágoras para describir sus actividades intelectuales, como elementos de elevación moral hacia la salvación.<br />Los pitagóricos perseguían penetrar en el secreto de la armonía de los números, ya que desvelado éste creían poder comprender la armonía del universo. Soñaban con poder captar la esencia del universo bajo la forma de números enteros, imaginándose estar tras las huellas del misterio último de las cosas. Los pitagóricos vinculaban íntimamente Mística, Religión y Ciencia; Geometría, Música, y Cosmología; Aritmología, Metafísica y Filosofía; cuerpo, alma y espíritu en una armoniosa síntesis. Quizá resida en esa capacidad unificadora del Pitagorismo entre lo científico-racional y lo místico-religioso su radicación profunda en la matriz de la Cultura Griega y por ende en su heredera, nuestra llamada Cultura Occidental.<br />Pero más allá de la Filosofía, la Mística y la Religión, Pitágoras y los pitagóricos aportaron un ingente caudal de conocimientos matemáticos. Proclo escribe Sobre Pitágoras en su celebre Comentario al Libro I de Los Elementos de<a href="http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Inprimaketak/Euclides.asp"> Euclides</a>:<br />«Pitágoras transformó la doctrina filosófica que trata de la geometríaen enseñanza liberal, examinó desde lo alto sus principios, investigó los teoremas de un modo inmaterial e intelectual y descubrió la dificultad de los números irracionales y la construcción de las figuras cósmicas [poliedros].»<br />Según Proclo, Pitágoras marca un hito en la Historia de la Matemática, al transformar la Geometría en saber puramente teórico e investigar los teoremas de forma abstracta, es decir, de manera discursiva e intelectual, trascendiendo el empirismo y situándose en el umbral de la Matemática racional como artífice supremo del «milagro griego en Matemáticas», en cuyo ámbito la idea y la necesidad de la demostración es uno de los componentes capitales del patrimonio pitagórico, fundamento de la instrucción liberal que proclama Proclo respecto de Pitágoras, al indicarnos que este sabio fue el primero en someter la Matemática a la exigencia de la rigurosa deducción lógica, que generación tras generación, se hizo cada vez más imperiosa.<br />La evidencia sensible reiterada por la empírica percepción sensorial que va forjando prescripciones útiles se manifiesta, para Pitágoras, insuficiente en el plano de las necesidades racionales, lo que obliga a trascender lo que hasta entonces era la práctica empírica sobre los casos particulares desarrollando métodos deductivos para demostrar de forma general. Cierto que en muchas ocasiones una comprobación geométrico-empírica de carácter inductivo puede satisfacer el espíritu y producir resultados visualmente palmarios, como ocurre en la inmensa parafernalia de fórmulas aritméticas que los propios pitagóricos obtienen con el atomismo numérico-geométrico de los números poligonales; pero hay problemas transcendentales de la Matemática, sobre todo aquellos en los que subyace la presencia del infinito, en los que sólo una rigurosa demostración, como acto intelectual puro, más allá de la intuición sensible, puede ser satisfactorio; por ejemplo, el estudio de la inconmensurabilidad del lado y la diagonal de un cuadrado o un pentágono, que no es comprobable empíricamente y que tal vez fue la primera demostración verdaderamente matemática realizada por los pitagóricos.<br />He aquí pues, en la demostración, la contribución fundamental del Pitagorismo a la Matemática, valorado siempre muy por encima de sus magníficas contribuciones particulares en ámbitos concretos de esta ciencia, siendo considerada, además, la demostración, como elemento esencial en el tránsito del mito al logos que tiene lugar en la cultura griega. La demostración va mucho más allá de la mera persuasión de la Retórica en la que los griegos eran grandes maestros, pues, es posible con persuasión argüir lo falso contra lo verdadero (de ahí los reproches de Sócrates hacia los sofistas). La demostración convence por la ilación argumental incontrovertible que alcanza algo legítimo mientras no se pongan en entredicho las leyes de la lógica. Por eso a partir de Pitágoras la Matemática es universalmente considerada como un manantial primario de verdad objetiva<br />La Matemática conduciendo a Pitágoras. Fragmento de la tabla de Da Ponte Las Artes Liberales (1437). Museo del Prado. Madrid.Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-42775034117536500902008-12-22T07:31:00.000-08:002009-03-02T03:54:45.706-08:00CLASIFICACIÓN DE LOS BIOMAS<div align="center"><strong>CLASIFICACIÓN DE LOS BIOMAS<br /></strong></div><img id="BLOGGER_PHOTO_ID_5282642699135581282" style="margin: 0px auto 10px; display: block; width: 400px; height: 264px; text-align: center;" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgH_RJVaUpS1lrL7sxIgzp_QJAbUzc_1eKNIpqpf7nemVjNMdtblQQnGBUHI4MlBMQkmolDgKhQ3SCWm0ozluAWNJYTeAc-pzAHdW9OMvrE0lybdfqowl-oTXXvtBaeBFAq-xAJE6pYrAiZ/s400/Clasificaci%C3%B3n+de+los+biomas.png" border="0" /><br /><br /><div align="center"><strong>BIOMA ACUÁTICO EPICONTINENTAL</strong> <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3YrwtfKAvqtDBQ-Lop0l3-q26PkhRc7ZJNKw_nhCZYaKd0FiKMKWFJIckqVy0CDvKeMzvJNx6jxdmEvOyDF6I8QgzZ1rFBwl0QL4GLvGyDl3FMLO3sxy8pZnU2i5t5Fn-0N5_XcLUU3oK/s1600-h/Bioma+acu%C3%A1tico+epicontinental.png"><img id="BLOGGER_PHOTO_ID_5282641490816950274" style="width: 400px; height: 264px;" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3YrwtfKAvqtDBQ-Lop0l3-q26PkhRc7ZJNKw_nhCZYaKd0FiKMKWFJIckqVy0CDvKeMzvJNx6jxdmEvOyDF6I8QgzZ1rFBwl0QL4GLvGyDl3FMLO3sxy8pZnU2i5t5Fn-0N5_XcLUU3oK/s400/Bioma+acu%C3%A1tico+epicontinental.png" border="0" /></a></div><br /><div align="center"><strong>BIOMA ACÚATICO MARINO (clasificación según sus zonas) </strong><br /><br /><br /><img id="BLOGGER_PHOTO_ID_5282638284568843698" style="margin: 0px auto 10px; display: block; width: 400px; height: 268px; text-align: center;" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiH12O_b21ZCfNIINsJjcZE0IAYKcy9S38E-R9EJ4spWq24LmkWoQgr2PIf3x666m8naWJUnU29ZkI0NDA_9kBc_DGGGF4u-0zqLmKMrDKGFRugeUxWgLekY40UZmUr7YBwhmHxKj5rOrK0/s400/Bioma+acu%C3%A1tico+marino.png" border="0" /> </div>Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-11962763562024529222008-12-22T07:13:00.000-08:002008-12-22T07:30:38.013-08:00ECOSISTEMAS. CADENAS TRÓFICAS<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjIMa1LjIoqZ5biXD0wSzy8WH0syRtvTssPu06_3rtjzYqvM5tMpF-t5irJGHWsHJRWwjfTZOXC8bZjbEAJQRbWFZiIrx2CJzlCdGVbC22S3i_TqaRy0s2nqEUkesWk5Ag1nV3NIKbUrF4/s1600-h/Diapositiva05.gif"><img id="BLOGGER_PHOTO_ID_5282637120124382130" style="WIDTH: 400px; CURSOR: hand; HEIGHT: 300px" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjIMa1LjIoqZ5biXD0wSzy8WH0syRtvTssPu06_3rtjzYqvM5tMpF-t5irJGHWsHJRWwjfTZOXC8bZjbEAJQRbWFZiIrx2CJzlCdGVbC22S3i_TqaRy0s2nqEUkesWk5Ag1nV3NIKbUrF4/s400/Diapositiva05.gif" border="0" /></a><br /><div><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgySxmCudmWYJCQ7qmPaNy-yBjpq5EYzN3uBe1l0rzLZv7qS8EmlP5lBm4-5ZOMEEq2ndew-3KpwD1Qc00E519Orn__CFp__pAhmJADHdXWQfUUifDSbbzQb8WHBDJEMH42EhIGDiZVuk8H/s1600-h/Diapositiva13.gif"><img id="BLOGGER_PHOTO_ID_5282636926514261378" style="WIDTH: 400px; CURSOR: hand; HEIGHT: 300px" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgySxmCudmWYJCQ7qmPaNy-yBjpq5EYzN3uBe1l0rzLZv7qS8EmlP5lBm4-5ZOMEEq2ndew-3KpwD1Qc00E519Orn__CFp__pAhmJADHdXWQfUUifDSbbzQb8WHBDJEMH42EhIGDiZVuk8H/s400/Diapositiva13.gif" border="0" /></a><br /><br /><div><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEBzB4GdKSHFhdnaAZgqtQ7yI-k5jhv4TIAJaO29IWWUgPH5I3EPQn9uqBy71eapxPVQGgnnh6qr0WuwhEvhDEgbsLyvNAVpPAa7V6BI5WR5BFQsSup4io-zO172ajjB_aEw70Q9HfLqu6/s1600-h/Diapositiva14.jpg"><img id="BLOGGER_PHOTO_ID_5282636690786143442" style="WIDTH: 400px; CURSOR: hand; HEIGHT: 300px" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEBzB4GdKSHFhdnaAZgqtQ7yI-k5jhv4TIAJaO29IWWUgPH5I3EPQn9uqBy71eapxPVQGgnnh6qr0WuwhEvhDEgbsLyvNAVpPAa7V6BI5WR5BFQsSup4io-zO172ajjB_aEw70Q9HfLqu6/s400/Diapositiva14.jpg" border="0" /></a><br /><br /><br /><div><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUxHQNjzN_FTHxZkas9b6EN2Niec9WoqV84T4Gqlc_MlsRvjBWNtsxb7PHB0mhgx-RXrpSdKUW0N4Yigad05H6wImYgCMUPh4dHsbEcgoPP7lq2Z7lHe459l2QUrbrLI0s8jLNKc5ImIer/s1600-h/Diapositiva15.jpg"><img id="BLOGGER_PHOTO_ID_5282636172839024978" style="WIDTH: 400px; CURSOR: hand; HEIGHT: 300px" alt="" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUxHQNjzN_FTHxZkas9b6EN2Niec9WoqV84T4Gqlc_MlsRvjBWNtsxb7PHB0mhgx-RXrpSdKUW0N4Yigad05H6wImYgCMUPh4dHsbEcgoPP7lq2Z7lHe459l2QUrbrLI0s8jLNKc5ImIer/s400/Diapositiva15.jpg" border="0" /></a><br /><br /><br /><br /><div><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgezRRJ5QzjoP3DSDAlhiUS-tLUJyP3ZdWYBzj1A5CPdI2j5usiKSgbJamtKDJyZj_pgLzJIkUp7Dz9aY8g56s61dFqyBOc1jFVH8sJ-tqfLTjGPeAlpcZNIHmheiMDlDqFquD8UShlhje1/s1600-h/Diapositiva14.jpg"></a><br /><br /><br /><br /><br /><div><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSC2WSD0m_JIyuoqvqTbZd7hYDbVLEXDWaLctMpETWyusUrpJSyIxGveGfM1tQAbmY4ePNeI1IrKiXFmey2u5YmQwu7H2nUNxi0brmcvYZe8ge9tb6JKiz-A_b6QCORUJ3rn17K1oe9eAE/s1600-h/Diapositiva14.jpg"></a><br /><br /><br /><br /><br /><br /><div><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNmpa7ZEDmeCuDzIIfHg-prZhs91NwKVrQUKyNqvPAPLz3ck1dUzvrTcyE5dVCqQB2MtxGZJ79001bYsmwILA02Mq_uYXGmjkXXmK9r91azPzlZTcaZpyfCQExYi1KxGnQuOEJGP-JdcZz/s1600-h/Diapositiva13.gif"></a><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><div></div></div></div></div></div></div></div>Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-17438175135496676762008-12-08T05:15:00.000-08:002008-12-08T12:49:11.098-08:00COMENTARIO A LIBRO DE CLAUDI ALSINA<div id="noticia_entradilla" class="noticia_texto"><h2><span style="font-size:100%;">"Las tablas de multiplicar deben seguirse aprendiendo bien y de memoria; o como hacen escuelas norteamericanas: tablas de multiplicar cantadas a ritmo de rap".</span></h2></div> <div id="noticia_texto" class="noticia_texto"><p> <b>F. FRANCO. A CORUÑA.</b> A coruña<br />Lo suyo es esencialmente la enseñanza de las matemáticas pero, dentro de ese mundo, pertenece a una especie singular a la que le gusta la popularización de esta ciencia. El humor ha sido un instrumento del que se ha servido para ello y así ha publicado en Ariel Vitaminas matemáticas. Cien claves sorprendentes para introducirse en el fascinante mundo de los números.<br />-Difícil empresa la suya, cambiar la cara de las matemáticas...<br />-Es mi obligación como profesor intentar que en la educación de las matemáticas se tenga una visión positiva de algo que es tremendamente útil para todos hoy en día.<br />-O sea que se pueden divulgar las matemáticas sin descafeinarlas...<br />-Claro que es posible hacerlo y se consigue presentando su cara amable, aspectos que tengan atractivo y provoquen la curiosidad en la gente. Una vez seducidos ya pueden entrar a enterarse de las cosas, profundizar en ellas.<br />-Ya le hubiera gustado a usted haber empezado así esta asignatura...<br />-Eran otros tiempos pero es evidente que las posibilidades que hoy tenemos para presentar una enseñanza de las mismas más atractiva son infinitamente superiores a las de antes. Internet, las imágenes...<br />-Para comprender el universo ¿se necesita pensar en términos matemáticos?<br />-Sin matemáticas es imposible comprender el universo, es imposible el progreso científico y técnico, es imposible llevar una vida cotidiana normal.<br />-No me diga que no se puede salir de casa sin matemáticas encima...<br />-Pues se lo digo, aunque hablando de conocimientos básicos. Un ciudadano cualquiera las necesita para tener un espíritu crítico y reflexivo, para poder discutir, exigir cosas... Piense en hipotecas, financiaciones, resultados de análisis médicos, gráficos o números de cambios climáticos que están en los periódicos... Contribuyen a la democracia porque suponen el acceso de todos a criterios cuantitativos.<br />-Con las computadoras ¿para qué multiplicar de memoria?<br />-No, no. Las tablas de multiplicar deben seguirse aprendiendo bien y de memoria; o como hacen escuelas norteamericanas de hoy en día: tablas de multiplicar cantadas a ritmo de rap.<br />-Pero ¿por qué las matemáticas provocan tantos odios entre la gente?<br />-A lo mejor porque como labor de aprendizaje es más exigente que otras: no puedes entender algo si no has entendido lo anterior, son de conocimiento acumulativo. También es verdad que ha habido metodologías y profesores que no han sabido darle una aproximación más amable, lúdica, atrayente...<br />-Yo, un congreso de matemáticos, lo veo como una reunión de ascetas aburridos...<br />-Quizás este oficio tenga alguna característica común como el despiste, el abstraerse de la realidad... pero además de los congresos de matemáticas hay una gran cantidad de congresos de profesores que creen en la innovación, en nuevos métodos. En Galicia existen dos asociaciones que son muy activas y se han organizado magníficos congresos.</p> </div>Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-38231449012608549332008-12-05T17:14:00.000-08:002008-12-05T17:16:06.764-08:00La fórmula del póker<h1><br /></h1><a href="http://www.casinosypoker.info/wp-content/uploads/2008/12/casinos.jpg"><img class="size-medium wp-image-98 aligncenter" title="casinos" src="http://www.casinosypoker.info/wp-content/uploads/2008/12/casinos.jpg" alt="" width="300" height="206" /></a> <p style="text-align: justify;">Una vez resuelto de forma matemática el juego de las damas y con los humanos recién adelantados por los ordenadores en la carrera casi infinita por dominar el ajedrez, el matemático holandés Ben van der Genugten asegura haber demostrado que en el póker es más importante la habilidad que el azar. El ‘descubrimiento’ no es una mera curiosidad más o menos científica, sino que tiene implicaciones legales, dado que en muchos países los juegos de azar están mucho más controlados (e incluso penados) por las leyes.</p> <p style="text-align: justify;">Los jugadores profesionales saben desde hace décadas lo que Ben van der Genugten sostiene haber probado con fórmulas matemáticas. Experto en probabilidad y estadística, el profesor explica que en el póker el factor suerte tiene un papel mucho más pequeño que el del aprendizaje. El profesor sostiene que la diferencia entre un buen jugador y un principiante contrarresta con creces el indudable azar con el que son repartidos los naipes (si se excluyen ases en la manga y otras trampas, más propias de las películas que de los torneos de verdad). Eso explicaría por qué los mejores profesionales quedan con regularidad en los primeros lugares en los campeonatos importantes, como las series mundiales que cada año se celebran en Las Vegas.</p> <p style="text-align: justify;">La fórmula del póker, desarrollada por Ben van der Genugten con ayuda de Peter Borm, profesor de matemáticas y de la teoría de los juegos, establece la relación entre habilidad, azar y aprendizaje. Su principio básico es que cuanto menos influye la suerte en un juego, mayor importancia cobra la habilidad.</p> <p style="text-align: justify;">Según el teorema de Genugten, el nivel de habilidad equivale al efecto aprendizaje dividido entre ese mismo efecto aprendizaje más el efecto del azar. El efecto del aprendizaje no es otra cosa que la diferencia en la actuación entre un principiante y un jugador experto.</p> <p style="text-align: justify;">Según esta fórmula, se puede establecer un índice de habilidad para cada juego, cuyo valor varía entre cero y uno. Así, un juego totalmente dependiente de la suerte tiene un índice de habilidad de cero, como la lotería o la ruleta. Por el contrario, en el ajedrez o las damas el índice de habilidad se aproxima al uno absoluto, por cuanto la suerte no tiene incidencia o es prácticamente despreciable.</p> <p style="text-align: justify;">Según la fórmula de Van der Genugten, la mayoría de los juegos de casino, con los que las leyes de casi todos los países catalogan al póker, tienen un índice de habilidad de cero o muy cercanos a cero. El blackjack es una ligerísima excepción, ya que tiene un índice de habilidad de 0,049, insuficiente para que un buen jugador se asegure la victoria, pero útil al menos para minimizar las pérdidas y, si la suerte acompaña, maximizar las ganancias. En el caso del póker, el índice es muy superior y llega a 0,4. Suficiente para asegurar el éxito de los mejores, al menos a largo plazo.</p> <p style="text-align: justify;">Toda esta argumentación ha llevado a Van der Genugten a dirigirse a la Corte Suprema holandesa para intentar cambiar la legislación de su país y acabar con el monopolio de los casinos, los únicos que en Holanda (y en España) pueden organizar partidas y competiciones de póker sin salirse de la ley.</p>Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-91420046364368388312008-12-01T09:56:00.000-08:002008-12-05T17:30:13.635-08:00¿CÓMO FUNCIONA UN DETERGENTE?<span style="font-size:130%;"></span>El detergente es parte de nuestra vida diaria, tiene diferentes colores y perfumes, puede ser líquido o sólido (en el caso de los jabones) pero, ¿pensaste alguna vez cómo funciona esta sustancia? Hay sustancias que se disuelven en agua, como por ejemplo la sal, y otras que no lo hacen, como por ejemplo el aceite. El agua y el aceite no se mezclan, de modo que si tratamos de limpiar una mancha grasienta en la ropa o en la piel, el agua no es suficiente. Necesitamos detergente.<br />El detergente está formado por moléculas con una cabeza afín al agua (hidrofílica) y una larga cadena que huye del agua (hidrofóbica).<br />Debido a ese dualismo, las moléculas de detergente actúan como “un diplomático”, mejorando la relación entre el agua y la grasa. ¿Cómo? Cuando se añade detergente al agua, sus cabezas hidrofílicas se proyectan hacia el agua, mientras que las largas cadenas hidrofóbicas se unen a las partículas de grasa y permanecen en el interior (escapando del agua). De esa forma, se forman grupos circulares llamados micelas, con el material graso absorbido dentro y atrapado.<br /><br />Se origina entonces una emulsión de aceite en agua, lo cual significa que las partículas de aceite quedan suspendidas en el agua y son liberadas de la ropa. Con el aclarado, la emulsión es eliminada.<br />En resumen, el detergente limpia actuando como emulsificante, permitiendo que el aceite y el agua se mezclen, eliminándose las manchas durante el aclarado. Hay más aspectos envueltos en este proceso, pero ésta es la idea general.Antoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-5553202575832914803.post-91023493499911215532008-12-01T09:52:00.000-08:002009-02-04T05:35:38.543-08:00ELEMENTOS Y COMPUESTOS PARA MEMORIZAR<span style="font-size:130%;"><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >METALES</span></span><br />Cromo Cr<br />Hierro Fe<br />Niquel Ni<br />Platino Pt<br />Cobre Cu <br />Plata Ag<br />Oro Au <br />Zinc Zn<br />Mercurio Hg<br />Aluminio Al <br />Plomo Pb<br /><br /><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >NO METALES</span><br />Hidrógeno H<br />Carbono C<br />Nitrógeno N<br />Fósforo P<br />Arsénico As<br />Oxígeno O<br />Azufre S<br />Flúor F<br />Cloro Cl<br />Bromo Br<br />Yodo I<br /><br /><span style="font-size:130%;"><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >ALGUNOS COMPUESTOS IMPORTANTES:</span></span><br />Agua H2O <br />Monóxido de carbono CO <br />Dióxido de carbono CO2 <br />Dióxido de azufre SO2 <br />Trióxido de azufre SO3 <br />Ácido sulfúrico H2SO4 <br />Amoniaco NH3 <br />Metano CH4 <br />Butano C4 H10 <br />Ácido clorhídrico HCl <br />Cloruro sódico (sal común) NaClAntoniohttp://www.blogger.com/profile/16251530295482872137noreply@blogger.com2