0.- Aprende lo necesario para que tu vida sea más feliz. Lo mejor en todo es la justa medida. Reflexiona sobre todo tomando como guía la recta razón. Pitágoras. Los Versos de Oro (31, 38, 68–69).
1.- Pitágoras exhortó al que ambicionara una auténtica fama a ser individualmente tal como quisiera parecer a los demás. [...]. Pitágoras exhortó a ejercitarse en el escuchar a fin de capacitarse para hablar. Jámblico, Vida Pitagórica. ( IX.49, p.43 ; X.53, p.45).
2.- Para Pitágoras la primera esencia era la naturaleza de los números y proporciones que se extienden a través de todas las cosas, de acuerdo con los cuales todo está armónicamente dispuesto y convenientemente ordenado. Jámblico, Vida Pitagórica., XII.59, p.49.
3.- Pitágoras fue el primero en usar el nombre de Filosofía y se llamó a sí mismo filósofo o amante de la sabiduría. [...]. “Ninguno de los hombres, dijo Pitágoras, es sabio: sólo lo es Dios”. Diógenes Laercio. Vida de los filósofos más ilustres. Libro I. Proemio.VIII, pp.11–12.
4.- En Roma nadie era considerado instruido si no era pitagórico. Cicerón (Tusculanas, I.1, XVI).
5.- El mundo platónico de las ideas es la forma revisada y refinada de la doctrina pitagórica de que el número es la base del mundo real. A.Whitehead.La Matemática en la Historia del Pensamiento (en SIGMA, el mundo de las Matemáticas, Vol.1, p.332).
6.- En el númeroreside, como lo comprendió Pitágoras con la íntima certidumbre de una sublime intuición religiosa, la esencia de todo lo real. [...] La afirmación pitagórica de que el número es la esencia de todas las cosas aprehensibles por los sentidos siegue siendo la más valiosa proposición de la Matemática antigua. O.Spengler. El sentido de los números (en La decadencia de Occidente. Cap.I.1). Austral, Madrid, 1998, pp.132,148.
7.- Pitágoras es un gran pensador cuya escuela estableció una relación entre las Matemáticas, la Ciencia y la Filosofía que no se ha perdido nunca. J.Bernal. Historia social de la Ciencia. Península, Barcelona, 1979 vol.1. pp.149–150.
8.- La Matemática nace a la sombra de la metafísica pitagórica fundada en la omnipresencia y omnipotencia del numero. J.Babini. Arquímedes: El Método. Eudeba, Buenos Aires, 1966, p.14.
9.- Pitágoras fue el primer pensador que intentó conciliar las Matemáticas con la Filosofía, una de las mayores aportaciones realizadas a la civilización a lo largo de toda la historia. Desde entonces, las Matemáticas han mantenido una estrechísima relación con la Filosofía y la Ciencia, hasta el punto de que algunos de los más grandes filósofos han sido también grandes matemáticos. B.Mage. Historia de la Filosofía, Blume, Barcelona, 1988. p.15.
10.- Pitágoras es intelectualmente uno de los hombres más importantes que han existido y que mayor influencia ha ejercido en la Historia del Pensamiento. Bertrand Russell. Historia de la Filosofía Occidental, Austral, vol.1, p.65
PITÁGORAS, ENTRE LA HISTORIA Y LA LEYENDA
Además de su decisiva contribución al acervo matemático griego, Pitágoras es el principal responsable –a través de la práctica de la demostración– del nacimiento en Grecia de la Matemática racional como ciencia especulativa y deductiva. Es sin duda, además, el matemático más conocido. Pero más allá de la Matemática, en el ámbito más general de la Historia de la Cultura, Pitágoras es realmente un personaje muy célebre. Su figura es una de las más apasionantes de la Historia del Pensamiento. Racionalista y místico, filósofo y teólogo, matemático y experimentador, sabio y profeta, maestro y asceta, psicólogo y orador, promotor religioso y taumaturgo, interrogador del Cosmos e instaurador de un estilo de vida, gran conversador y amante del silencio reflexivo, hombre de carne y hueso y personaje mítico, Pitágoras es el primigenio inductor de una parte considerable de los elementos culturales que al configurar en gran medida el pensamiento platónico, influyeron de forma decisiva sobre la ciencia alejandrina y el primer Cristianismo y dejaron una estela que ha pervivido a lo largo de los tiempos y ha conformado la tradición del pensamiento occidental hasta nuestros días, lo que convierte a Pitágoras en uno de los personajes más influyentes en la Historia de la Cultura y del Pensamiento.
Como filósofo del número, para Pitágoras y los pitagóricos, Filosofía, Ciencia, Matemáticas y Religión son aspectos indisociables que se integran en una apasionada actividad intelectual presidida por un misticismo de carácter aritmético–geométrico. Al acuñar para la posteridad, en el lenguaje del saber, los términos Filosofía («amor a la sabiduría») y Matemáticas («lo que se conoce», «lo que se aprende»), Pitágoras es uno de los artífices del milagro griego como principal instaurador de la tradición filosófica y matemática en occidente, contribuyendo su legado de forma incuestionable a establecer una íntima y duradera relación entre Matemática, Ciencia y Filosofía.
Entre la historia y la ficción, la extraordinaria figura de Pitágoras ha sido muy controvertida, estando inmersa en un halo misterioso que envuelve a leyendas y tradiciones sobre el personaje. Se ha llegado incluso a dudar de su existencia. El mismo Aristóteles que vivió tan sólo doscientos años después de Pitágoras, es muy cauto y no se compromete, a pesar de la tradición, con atribuciones personales a Pitágoras de doctrina matemática, musical o cosmológica alguna y prefiere hablar de los pitagóricos más que de Pitágoras, a quien, mencionando sólo en dos ocasiones, parece poner en entredicho su existencia real. Estas suposiciones son desmentidas por algunos documentados testimonios de Heráclito y Herodoto. Actualmente la investigación histórica parece haber dejado fuera de toda duda la historicidad de Pitágoras, pero de todas formas la figura histórica de Pitágoras ha sido muy edulcorada por parte de quienes más que biógrafos son hagiógrafos, sobre todo Diógenes Laercio y Porfirio, del siglo III d.C. y Jámblico, del siglo IV. Lástima que la obra de Aristóteles Sobre los Pitagóricos se haya perdido, aunque es plausible que en ella se hallara más doctrina pitagórica que biografía del maestro. Durante mucho tiempo hubo un gran escepticismo sobre la verosimilitud de las biografías de Pitágoras, atribuyéndoles más novela que historia, ante el estilo laudatorio sobre las peripecias científicas y las enseñanzas religiosas del sumo pontífice del Pitagorismo. Actualmente, la investigación y la crítica histórica de algunos eruditos han separado la ganga fantástica de la mena histórica y sobre todo tras la reciente publicación de la obra de B.L. Van der Waerden Die Pythagoreer (Zurich, 1979), se tiende a dar más credibilidad a los biógrafos aludidos considerando que ellos pudieron tal vez disponer de documentos próximos a los tiempos del Pitagorismo.
Pitágoras nació en la isla de Samos. Tras una exquisita formación intelectual bajo la dirección de los filósofos Ferecides y Hermodomas, es probable –y así lo asegura Jámblico– que visitara a Tales en Mileto y aprendiera directamente de él –lo que por proximidad cronológica y geográfica habría sido posible–. Avido de ampliar conocimientos, al haber agotado las fuentes del saber griego de la época, con un alma helénica, inquieta y viajera, y aconsejado por la experiencia personal de Tales, Pitágoras habría estado en Egipto y Mesopotamia, donde los sacerdotes y escribas le debieron inculcar no sólo de la ciencia exotérica, como a Tales, sino también de la ciencia esotérica que impregnaría toda su elaboración científica y la transmisión de la misma a sus discípulos. Es posible incluso que en sus peregrinaciones Pitágoras llegara hasta la India donde habría asimilado tanto conocimientos matemáticos y astronómicos como mucho bagaje religioso, en particular las doctrinas sobre la reencarnación y la transmigración de las almas, que sería un lugar común en la Comunidad Pitagórica. Incluso se le atribuyen viajes por el Mediterráneo desde Fenicia hasta las Columnas de Hércules y de aquí a las Galias y a las Islas Británicas para aprender de los druidas. El saber milenario de egipcios, fenicios, judíos, árabes, caldeos, persas, indios y druidas habría conformado, según tradiciones legendarias, la extraordinaria sabiduría de Pitágoras. Al regreso de sus viajes, Pitágoras sesienteimbuido de una función casi mesiánica de transmisión de la verdad y el conocimiento y empieza a exponer doctrina matemática, filosófica y religiosa, primero en Samos y después en Crotona, colonia dórica de la Magna Grecia, situada en la costa sudeste de Italia, donde funda una comunidad de carácter científico y religioso. La leyenda persigue a Pitágoras hasta el umbral de su muerte que se ha descrito con todo tipo deversiones más o menos peregrinas, algunas incluso de tipo violento en relación con las frecuentes hostilidades entre Crotona y Sibaris. Según lo más fiable parece ser que murió en Metaponto, hacia el año 500 a.C.
Pitágoras: Filosofía, Religión, Ciencia y Matemáticas.
Nicómaco de Gerasa (en Introducción a la Aritmética), Diógenes Laercio (en Vida de los filósofos más ilustres ) y Jámblico (en Vida pitagórica), entre otros, atribuyen a Pitágoras los términos Filosofía y Filósofo, como el amor y el amante de la Sabiduría, respectivamente.
Pitágoras fue el primero en utilizar el término Cosmos para describir el orden y la armonía inherentes a un universo regido por unas leyes cognoscibles e inteligibles por el hombre a través del número que es el principio elemental, «la esencia de todas las cosas», componente esencial de la armonía matemática que debe guiar, con finalidad religiosa, toda investigación sobre el universo. Pitágoras alcanzaría esta iluminación, tras sus viajes, a través de su propia reflexión sobre la sabiduría milenaria de los pueblos de Oriente Próximo. De los egipcios aprendería que las formas de las figuras geométricas se ajustan a números y proporciones y de Mesopotamia que los movimientos de los astros están regidos por leyes numéricas. De su propia experimentación, Pitágoras deduce que la armonía musical también está regida por el número. De estos tres hechos, tras una audaz extrapolación, Pitágoras estableció que «el número es la esencia del universo» y que «el número es la raíz y fuente de la naturaleza eterna».
Bajo estos presupuestos vitales e intelectuales, Pitágoras funda una comunidad en la que los aspectos científicos y religiosos están íntimamente asociados de forma mística. Se trata de una secta animada por el culto ritual que recuerda a los adoradores de Orfeo, donde las armonías y misterios de la Matemática y de la Filosofía eran partes esenciales y cuya influencia no tardó en hacerse sentir en toda la Magna Grecia e incluso en Roma. El principal objeto de las doctrinas pitagóricas era la purificación del alma o catarsis mediante la permanente prosecución de estudios filosóficos, matemáticos y cosmológicos, emprendidos como factores de sublimación espiritual para la dirección de la existencia, merced a la identificación intelectual –filosófica– con la gran idea divina ordenadora del universo: el número, que integra y confiere unidad a todo un sistema de pensamiento filosófico, científico y religioso. Las propias palabras Filosofía y Matemática parece que fueron acuñadas por el propio Pitágoras para describir sus actividades intelectuales, como elementos de elevación moral hacia la salvación.
Los pitagóricos perseguían penetrar en el secreto de la armonía de los números, ya que desvelado éste creían poder comprender la armonía del universo. Soñaban con poder captar la esencia del universo bajo la forma de números enteros, imaginándose estar tras las huellas del misterio último de las cosas. Los pitagóricos vinculaban íntimamente Mística, Religión y Ciencia; Geometría, Música, y Cosmología; Aritmología, Metafísica y Filosofía; cuerpo, alma y espíritu en una armoniosa síntesis. Quizá resida en esa capacidad unificadora del Pitagorismo entre lo científico-racional y lo místico-religioso su radicación profunda en la matriz de la Cultura Griega y por ende en su heredera, nuestra llamada Cultura Occidental.
Pero más allá de la Filosofía, la Mística y la Religión, Pitágoras y los pitagóricos aportaron un ingente caudal de conocimientos matemáticos. Proclo escribe Sobre Pitágoras en su celebre Comentario al Libro I de Los Elementos de
Euclides:
«Pitágoras transformó la doctrina filosófica que trata de la geometríaen enseñanza liberal, examinó desde lo alto sus principios, investigó los teoremas de un modo inmaterial e intelectual y descubrió la dificultad de los números irracionales y la construcción de las figuras cósmicas [poliedros].»
Según Proclo, Pitágoras marca un hito en la Historia de la Matemática, al transformar la Geometría en saber puramente teórico e investigar los teoremas de forma abstracta, es decir, de manera discursiva e intelectual, trascendiendo el empirismo y situándose en el umbral de la Matemática racional como artífice supremo del «milagro griego en Matemáticas», en cuyo ámbito la idea y la necesidad de la demostración es uno de los componentes capitales del patrimonio pitagórico, fundamento de la instrucción liberal que proclama Proclo respecto de Pitágoras, al indicarnos que este sabio fue el primero en someter la Matemática a la exigencia de la rigurosa deducción lógica, que generación tras generación, se hizo cada vez más imperiosa.
La evidencia sensible reiterada por la empírica percepción sensorial que va forjando prescripciones útiles se manifiesta, para Pitágoras, insuficiente en el plano de las necesidades racionales, lo que obliga a trascender lo que hasta entonces era la práctica empírica sobre los casos particulares desarrollando métodos deductivos para demostrar de forma general. Cierto que en muchas ocasiones una comprobación geométrico-empírica de carácter inductivo puede satisfacer el espíritu y producir resultados visualmente palmarios, como ocurre en la inmensa parafernalia de fórmulas aritméticas que los propios pitagóricos obtienen con el atomismo numérico-geométrico de los números poligonales; pero hay problemas transcendentales de la Matemática, sobre todo aquellos en los que subyace la presencia del infinito, en los que sólo una rigurosa demostración, como acto intelectual puro, más allá de la intuición sensible, puede ser satisfactorio; por ejemplo, el estudio de la inconmensurabilidad del lado y la diagonal de un cuadrado o un pentágono, que no es comprobable empíricamente y que tal vez fue la primera demostración verdaderamente matemática realizada por los pitagóricos.
He aquí pues, en la demostración, la contribución fundamental del Pitagorismo a la Matemática, valorado siempre muy por encima de sus magníficas contribuciones particulares en ámbitos concretos de esta ciencia, siendo considerada, además, la demostración, como elemento esencial en el tránsito del mito al logos que tiene lugar en la cultura griega. La demostración va mucho más allá de la mera persuasión de la Retórica en la que los griegos eran grandes maestros, pues, es posible con persuasión argüir lo falso contra lo verdadero (de ahí los reproches de Sócrates hacia los sofistas). La demostración convence por la ilación argumental incontrovertible que alcanza algo legítimo mientras no se pongan en entredicho las leyes de la lógica. Por eso a partir de Pitágoras la Matemática es universalmente considerada como un manantial primario de verdad objetiva
La Matemática conduciendo a Pitágoras. Fragmento de la tabla de Da Ponte Las Artes Liberales (1437). Museo del Prado. Madrid.
Un verdadero trabajo de Origami ejemplifica tanto los patrones de belleza del artista como los del matemático. Se realiza a partir de un cuadrado de papel sin cortes. Es anatómicamente exacto -un requerimiento americano, no japonés- aunque sugiere más de lo que muestra. Emplea técnicas de doblado que son a menudo inesperadas pero nunca arbitrarias, y cuya lógica puede ser comprendida por un espectador solo cuando se haya completado la figura.
Los modelos tradicionales de derivan de cuatro bases fundamentales. Base en un termino que los aficionados japoneses utilizan para denominar las formas geométricas que dan lugar a un variedad de modelos.
Lo curioso es que tantos procesos y objetos posean esta propiedad . Los ríos se ramifican en riachuelos, los riachuelos en arroyos, y los arroyos en corrientes cada vez más y más pequeñas. En los pulmones, los vasos sanguíneos pasan por unas 15 bifurcaciones similares a si mismos antes de alcanzar el tamaños de los capilares donde termina la autosimilaridad. Un proceso iterativo es un eficiente mecanismo para generar estructuras elaboradas con un mínimo gasto de energía e información. Se lleva a cabo una operación y esta produce un resultado, que llamamos x. Este resultado vuelve a introducirse en el proceso para producir otro resultado x, y así sucesivamente. Cada paso es una iteración; el proceso entero se suele denominar bucle de realimentación. Durante los últimos 40 años, los procesos iterativos han pasado por el escrutinio de cristalografos, biólogos, genetistas e investigadores en inteligencia artificial.
