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Esta edición estará dedicada a su memoria. Será difícil llenar el espacio que dejó Benoit pero su viuda, Aliette Mandelbrot y el científico Michael Barnsley han accedido a ser los presidentes honoríficos del concurso. |
La fecha límite para la recepción de trabajos es el 15 de septiembre de 2011. Puede encontrarse más información en la página web del concurso: |
La criptografía asimétrica es el método criptográfico que usa un par de claves para el envío de mensajes. Las dos claves pertenecen a la misma persona a la que se ha enviado el mensaje. Una clave es pública y se puede entregar a cualquier persona, la otra clave esprivada y el propietario debe guardarla de modo que nadie tenga acceso a ella. Además, los métodos criptográficos garantizan que esa pareja de claves sólo se puede generar una vez, de modo que se puede asumir que no es posible que dos personas hayan obtenido casualmente la misma pareja de claves.
Si el propietario del par de claves usa su clave privada para cifrar el mensaje, cualquiera puede descifrarlo utilizando su clave pública. En este caso se consigue por tanto la identificacióny autentificación del remitente, ya que se sabe que sólo pudo haber sido él quien empleó su clave privada (salvo que alguien se la hubiese podido robar). Esta idea es el fundamento de la firma electrónica.
Los sistemas de cifrado de clave pública o sistemas de cifrado asimétricos se inventaron con el fin de evitar por completo el problema del intercambio de claves de los sistemas de cifrado simétricos. Con las claves públicas no es necesario que el remitente y el destinatario se pongan de acuerdo en la clave a emplear. Todo lo que se requiere es que, antes de iniciar la comunicación secreta, el remitente consiga una copia de la clave pública del destinatario. Es más, esa misma clave pública puede ser usada por cualquiera que desee comunicarse con su propietario. Por tanto, se necesitarán sólo n pares de claves por cada n personas que deseen comunicarse entre sí.
Los sistemas de cifrado de clave pública se basan en funciones-trampa de un solo sentido que aprovechan propiedades particulares, por ejemplo de los números primos. Una función de un solo sentido es aquella cuya computación es fácil, mientras que su inversión resulta extremadamente difícil. Por ejemplo, es fácil multiplicar dos números primos juntos para obtener uno compuesto, pero es difícil factorizar uno compuesto en sus componentes primos. Una función-trampa de un sentido es algo parecido, pero tiene una "trampa". Esto quiere decir que si se conociera alguna pieza de la información, sería fácil computar el inverso. Por ejemplo, si tenemos un número compuesto por dos factores primos y conocemos uno de los factores, es fácil computar el segundo.
Bases
Dado un cifrado de clave pública basado en factorización de números primos, la clave pública contiene un número compuesto de dos factores primos grandes, y el algoritmo de cifrado usa ese compuesto para cifrar el mensaje. El algoritmo para descifrar el mensaje requiere el conocimiento de los factores primos, para que el descifrado sea fácil si poseemos la clave privada que contiene uno de los factores, pero extremadamente difícil en caso contrario.
Descripción
Las dos principales ramas de la criptografía de clave pública son:
• Cifrado de clave pública— un mensaje cifrado con la clave pública de un destinatario no puede ser descifrado por nadie, excepto un poseedor de la clave privada correspondiente--presumiblemente, este será el propietario de esa clave y la persona asociada con la clave pública utilizada. Se utiliza para confidencialidad.
• Firmas digitales— un mensaje firmado con la clave privada del remitente puede ser verificado por cualquier persona que tenga acceso a la clave pública del remitente, lo que demuestra que el remitente tenía acceso a la clave privada (y por lo tanto, es probable que sea la persona asociada con la clave pública utilizada) y la parte del mensaje que no se ha manipulado. Sobre la cuestión de la autenticidad.
Una analogía con el cifrado de clave pública es la de un buzón con una ranura de correo. La ranura de correo está expuesta y accesible al público; su ubicación (la dirección de la calle) es, en esencia, la clave pública. Alguien que conozca la dirección de la calle puede ir a la puerta y colocar un mensaje escrito a través de la ranura; sin embargo, sólo la persona que posee la clave puede abrir el buzón de correo y leer el mensaje.
Una analogía para firmas digitales es el sellado de un envolvente con un personal, sello de cera. El mensaje puede ser abierto por cualquier persona, pero la presencia del sello autentifica al remitente.
Un problema central para el uso de la criptografía de clave pública es de confianza (idealmente prueba) que una clave pública es correcta, pertenece a la persona o entidad que afirmó (es decir, es «auténtico») y no ha sido manipulado o reemplazados por un tercero malintencionado. El enfoque habitual a este problema consiste en utilizar una infraestructura de clave pública (PKI), en la que una o más terceras partes, conocidas como entidades emisoras de certificados , certifican la propiedad de los pares de claves. Otro enfoque, utilizado por PGP , es la " web de confianza ", método para asegurar la autenticidad de pares de clave
Seguridad
Como con los sistemas de cifrado simétricos buenos, con un buen sistema de cifrado de clave pública toda la seguridad descansa en la clave y no en el algoritmo. Por lo tanto, el tamaño de la clave es una medida de la seguridad del sistema, pero no se puede comparar el tamaño de la clave del cifrado simétrico con el del cifrado de clave pública para medir la seguridad. En un ataque de fuerza bruta sobre un cifrado simétrico con una clave del tamaño de 80 bits, el atacante debe probar hasta 280-1 claves para encontrar la clave correcta. En un ataque de fuerza bruta sobre un cifrado de clave pública con una clave del tamaño de 512 bits, el atacante debe factorizar un número compuesto codificado en 512 bits (hasta 155 dígitos decimales). La cantidad de trabajo para el atacante será diferente dependiendo del cifrado que esté atacando. Mientras 128 bits son suficientes para cifrados simétricos, dada la tecnología de factorización de hoy en día, se recomienda el uso de claves públicas de 1024 bits para la mayoría de los casos.
Ventajas del cifrado asimétrico
La mayor ventaja de la criptografía asimétrica es que se puede cifrar con una clave y descifrar con la otra, pero este sistema tiene bastantes desventajas:
Para una misma longitud de clave y mensaje se necesita mayor tiempo de proceso.
Las claves deben ser de mayor tamaño que las simétricas.
El mensaje cifrado ocupa más espacio que el original.
El sistema de criptografía de curva elíptica representa una alternativa menos costosa para este tipo de problemas.
Herramientas como PGP, SSH o la capa de seguridad SSL para la jerarquía de protocolos TCP/IP utilizan un híbrido formado por la criptografía asimétrica para intercambiar claves de criptografía simétrica, y la criptografía simétrica para la transmisión de la información.
MURCIA, 20 Sep. (EUROPA PRESS) -
Hacer más fiables los sistemas matemáticos en los que se basan las predicciones meteorológicas o los modelos que analizan los sistemas económicos es uno de los objetivos del congreso organizado por el Departamento de Matemática Aplicada y Estadística de la Universidad Politécnica de Cartagena (UPCT), que esta semana reúne en el hotel Galúa de La Manga a un centenar de expertos de reconocido prestigio nacional e internacional.
Así, el XIV Encuentro 'Czech-Solvak-Spanish Workshop on Discrete Dynamical Systems', que se desarrollará hasta el próximo viernes, analiza la teoría del caos, una de las más conocidas de los llamados sistemas dinámicos.
En concreto, según fuentes de la institución docente, se analizan las herramientas matemáticas que miden la caoticidad de un sistema, como por ejemplo el modelo de Lorenz, que sirve para predecir el tiempo y que está expuesto a variables tan cambiables como la presión atmosférica o la velocidad del viento.
En este sentido, el profesor Miguel Ángel López Guerrero, de la Universidad de Castilla-La Mancha, destaca que las matemáticas "están cada vez más volcadas en las aplicaciones prácticas y en dar respuesta a los problemas reales".
Tendencia ésta, ha añadido, que "tiene que ir acompañada desde el punto de vista docente de un esfuerzo para hacerlas más atractivas para los alumnos". "Tenemos que incidir en las aplicaciones reales que las matemáticas tienen en la vida para que sean más interesantes para los estudiantes", ha incidido.
Igualmente, en el encuentro se va a homenajear al profesor de la Universidad de Murcia, Francisco Balibrea, "un precursor en el estudio en España de los sistemas dinámicos y que ha contribuido a colocarnos en el panorama internacional", según explica el profesor de la UPCT y director del Congreso, Juan Luis García Guirao.
Al hilo, Balibrea destaca la importancia de este congreso como una oportunidad única de compartir conocimientos, ya que "en 20 años, España ha pasado de aportar un 1 por ciento de producción mundial en matemáticas a hacerlo en la actualidad en un 4 por ciento, por lo que se va hacia arriba y ahora es el momento de mejorar la calidad de las matemáticas que se hacen en España".
En su opinión, la Universidad Politécnica de Cartagena "está aportando un valor fundamental en el desarrollo de numerosas áreas científicas, técnicas y matemáticas; y ese hecho se constata en que está ascendiendo de forma muy rápida en los rankings mundiales de universidades".
La mayoría de los expertos que participan en el congreso procede de Estados Unidos, China, Australia, Alemania, Francia, Reino Unido, Israel y Eslovaquia, entre otros países.
Entre los ponentes se encuentra M. Misiurewicz, de Indianapolis (USA), una de la autoridades mundiales en entropía topológica, es decir, una medida que se usa para discernir si un sistema tiene un comportamiento complejo o no; así como A.N. Sharkosvkii, autor del célebre de Teorema de Sharkovskii sobre coexistencia de ciclos. Este matemático ucraniano ideó un nuevo orden en el conjunto de los números naturales de modo que si un sistema tiene un período también tiene períodos en el sentido del orden.
"La familia no es un obstáculo para las mujeres matemáticas", fue el titular con que los periodistas indios presentaron a la recién nombrada presidenta de la Unión Matemática Internacional, la belga Ingrid Daubechies, en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado el mes pasado en Hyderabad (India). Daubechies, de 56 años, física de formación y la primera catedrática de Matemáticas en la Universidad de Princeton (EE UU), no cree que esa afirmación sea una obviedad. "Las mujeres matemáticas son todavía demasiado pocas. A muchas matemáticas jóvenes les preocupa que su trabajo sea incompatible con tener una familia. Y esto pasa no solo en India, también en Estados Unidos", dice.
Daubechies ocupará su nuevo cargo en enero, y lo desempeñará cuatro años. Entre sus varios galardones cuenta con el de la Academia Nacional de Ciencias estadounidense en Matemáticas, y es también la primera mujer en recibirlo. Estudió primaria en un colegio femenino. "Por eso -dice ella- nunca sentí que se esperaba que los niños fueran mejores que las niñas en ciencias". A los ocho años, para dormirse, calculaba potencias de dos: "Me fascinaba lo rápido que crecían los números".
Pregunta. En el congreso de Hyderabad muchas personas, sobre todo mujeres indias, querían sacarse fotos con usted. ¿Se ha convertido en un icono?
Respuesta. Bueno, eso me pasa también en Estados Unidos. Espero animar a más mujeres para que estudien matemáticas. Porque es muy divertido, y porque no se me ocurre ninguna razón por la que la diferencia entre hombres y mujeres en matemáticas deba mantenerse. Cuanto más visibles sean las mujeres matemáticas, más mujeres jóvenes estudiarán la carrera.
P. Usted destaca que los matemáticos son "gente normal".
R. Mucha gente cree que si te gustan las matemáticas eres un raro, un mutante... Quiero mostrar a los jóvenes que no es así. Muchas personas disfrutan con el pensamiento matemático aunque no sean matemáticos, igual que muchas disfrutan con el deporte aunque no sean deportistas de élite. Realmente, los humanos estamos siempre haciendo razonamientos lógicos: si esto está bien, esto también debe estarlo... O, por ejemplo, si a un niño de 13 años le explicas una regla, inmediatamente él se pondrá a buscar una excepción. Eso es razonamiento matemático. No deberíamos tenerle miedo.
P. ¿Es un tema de investigación si el cerebro de las mujeres es mejor o peor para las matemáticas?
R. Yo creo que no, pero hay médicos, psicólogos y sociólogos que opinan lo contrario. Creo que tienen una idea completamente equivocada de lo que son las matemáticas. En matemáticas trabajamos juntos, discutimos las cosas hasta que las entendemos y luego las escribimos con un lenguaje eficiente y preciso. Las matemáticas lo que son es una forma de resolver problemas.
P. Usted hace matemática aplicada. ¿Puede poner ejemplos de su trabajo?
R. Ahora mismo colaboro con historiadores de arte usando técnicas matemáticas de análisis de imágenes. Uno de mis estudiantes trabaja con un experto en la restauración de un Gauguin. La obra ha sido restaurada en otras ocasiones y hay pintura depositada en las irregularidades de la tela. Nuestra técnica ha mostrado al restaurador cómo quedaría la obra sin ese exceso de pintura, y él está encantado. También estamos ayudando a otro historiador que estudia los trazos que los maestros del XVI, o sus ayudantes, hacían bajo la pintura. Es muy interesante. Mis doctorandos manejan datos de obras de Gauguin, o de Van Gogh...
P. ¿Cómo le llegan esos problemas?
R. Bueno, me encanta aprender hablando de todo con la gente. De vez en cuando haces conexiones y surgen temas interesantes.
P. Usted es experta en wavelets, una herramienta usada en el extendido formato informático de imágenes JPEG. ¿Qué son las wavelets?
R. Son una manera de descomponer algo en componentes más simples. Imagine que queremos pintar una acuarela. Con un pincel de trazo grueso pintamos un fondo; con otro más fino pintamos detalles, y cuanta más precisión queremos, más fino es el pincel. Es decir, en general no uso el pincel fino para pintar el fondo, porque es un esfuerzo innecesario. Las wavelets son la manera matemática de hacer esto; solo uso las herramientas finas, más costosas, para los detalles finos.
P. ¿Qué planes tiene para la Unión Matemática Internacional (IMU)?
R. La IMU es cada vez más activa en la ayuda a los países en vías de desarrollo. También en educación, y en esto vivimos ahora una crisis. En Europa y en EE UU faltan matemáticos para la enseñanza, así que la tarea recae en profesores que no han sido entrenados en matemáticas y a los que puede que ni les gusten. Y si has aprendido matemáticas como un mal necesario, realmente no eres la persona más adecuada para transmitir a los niños el gusto por ellas.
P. ¿Cómo es de grave la crisis?
R. Está empeorando, el número de estudiantes de matemáticas ha bajado mucho. Y es grave a todos los niveles, porque una mala enseñanza de las matemáticas en el colegio afecta a la siguiente generación de científicos. Últimamente las matemáticas en primaria y secundaria se basan mucho en la técnica, en fórmulas, y en pedir a los chicos que en cierto modo suspendan su pensamiento crítico. Se les dice: "Simplemente aprende esto, ya descubrirás para qué sirve". Así no se motiva a la gente.
P. ¿Cómo piensa abordar el problema?
R. Un objetivo es conectar a los profesores de Matemáticas con los investigadores. Creo que muchos no estudian matemáticas porque piensan que se convertirán en profesores y perderán el contacto con las matemáticas, que es lo que les gusta. Voy a tratar de evitarlo.
P. ¿Cómo fue elegida?
R. Hay un comité en la IMU que se reúne y propone candidatos. También, cada país miembro de la unión puede hacer propuestas. A mí la propuesta me llegó en un buen momento, porque mis hijos ya están en la universidad y tengo más tiempo para viajar.
P. No es habitual que alguien cuente que pensó en sus hijos a la hora de aceptar un cargo.
R. Bueno, cuanta más gente vea que los matemáticos pueden tener una jornada laboral de ocho horas y niños a su cargo, mejor.
P. ¿Trabaja usted ocho horas?
R. Yo procedo del sector industrial, de los Laboratorios Bell, y ahí era estricta con mi tiempo de trabajo. Cuando me ofrecieron ir a Princeton expliqué que mi tiempo después de las seis lo dedicaba a mis hijos, simplemente. Y por la noche estaba cansada. Aceptaron. Ahora bien, para investigar en matemáticas necesitas bloques de tiempo prolongados para pensar; si lo que tienes son 10 minutos cada 20 de trabajo, entonces no se puede.
ElPais.com
MÓNICA SALOMONE - Hyderabad - 08/09/2010
ELPAÍS.com - Barcelona - 06/01/2010
Según detalla Bellard, la computación binaria le tomó 103 días y su verificación, 13. Luego realizó la conversión a base 10 y su la verificación le ocupó el resto.
Sólo en el caso de la verificación empleó una red de nueve ordenadores domésticos durante 34 horas. Si lo hubiera hecho con el mismo ordenador (Intel Core i7 de 2.93 GHz, 6 GB de RAM y 5 discos duros de 1.5 terabytes) habría tardado 13 días más. El sistema operativo era Linux.
Científicos de la Politécnica descubren aplicaciones matemáticas para mejorar los diagnósticos médicos por imagen
El hallazgo tiene dimensión internacional. Una investigación realizada en el campus de Gandia de la Universidad Politécnica, que arrancó con la tesis doctoral de un joven investigador, Samuel Morillas (Granada, 1979), ha establecido que la aplicación de dos herramientas matemáticas, en este caso la lógica y las métricas difusas, mejoran la calidad de las imágenes digitales que se utilizan en los diagnósticos médicos. En la práctica, esto supone mayor precisión y rapidez en el diagnóstico e, incluso, los responsables del hallazgo avanzan que el empleo de los algoritmos matemáticos en el procesamiento de imágenes servirá para desarrollar formas de diagnóstico por imagen "menos perjudiciales para el ser humano". Otras aplicaciones más prosaicas, pero igualmente relevantes, van en la línea de mejorar los procesos de restauración de fotografías o películas en formato digital.
La tesis de Morillas, Métricas y lógica fuzzy para filtrado de imágenes en color, codirigida por el catedrático de Matemática Aplicada del campus de Gandia, Valentín Gregori, y el profesor titular de Ingeniería Gráfica de la Universidad Politécnica de Valencia Guillermo Peris, fue reconocida la mejor de 2007 en el área de matemáticas y ha sido difundida en una veintena de publicaciones científicas y revistas internacionales, lo que le valió a Morillas una beca de la Generalitat para complementar sus investigaciones en 2008. Y en los próximos dos años, a través de una beca de la Politécnica, desarrollará líneas de investigación, entre ellas la puesta a punto del software que permita la aplicación práctica del descubrimiento. Un paso adelante, aseguran, en el diagnóstico más preciso de enfermedades como el cáncer o el Alzheimer, al proporcionar a los médicos instrumentos de diagnóstico más rápidos y precisos. "Hasta que la tecnología, el hardware, se desarrolle lo suficiente, esperamos que los problemas se puedan paliar con nuestro sistema y con el software que estamos desarrollando", dice el investigador.
"El problema es que la imagen digital puede perder calidad por muchos factores, caso del tiempo o porque fue tomada en un contexto poco favorable. Y las nuevas tecnologías de la imagen no están totalmente desarrolladas", explica Morillas. "La idea", prosigue, "es procesar la imagen para que todos esos defectos se vean atenuados a través de algoritmos implementados en base a herramientas matemáticas como la lógica difusa y la métrica difusa". Básicamente, dichas herramientas lo que consiguen es asignar un determinado grado de bondad a los píxeles para poder procesar la imagen "de forma suave" en vez de tratarla como un conjunto cerrado. "Hay conceptos de la vida diaria que no se pueden clasificar de forma drástica, como la juventud, que tiene una serie de grados. A este tipo de conceptos, en los que no hay una certeza, se les puede aplicar la lógica difusa", aclara Morillas.
La bondad del descubrimiento reside en su aplicación práctica. Sin embargo, el joven investigador piensa que sin los avances previos, de carácter más teórico, ello no hubiera sido posible. "A veces se critica la investigación científica puramente teórica. Pero todo el desarrollo teórico previo ha llamado a que ahora se puedan hacer aproximaciones prácticas, útiles. Es un respaldo a la investigación teórica que se ha hecho años atrás", remarca.
Xavier Aliaga (El País)
Por cuarta vez se celebra el Concurso Internacional de Arte Fractal Benoit Mandelbrot. Hasta su fallecimiento el 14 de Octubre de 2010 Benoit Mandelbrot presidió y colaboró activamente con el concurso que lleva su nombre.
