domingo, 15 de marzo de 2009

MOSAICOS EN LA ALHAMBRA


Un mosaico es una composición con losetas que reproduce un paisaje o una figura. Cuando las losetas llenan el plano basándose en simetrías, desplazamientos y rotaciones, estamos ante un mosaico geométrico. De estos últimos vamos a hablar ahora.

Para rellenar un plano con losetas (teselar el plano)de forma periódica, existen cuatro estrategias:

1.-Traslación. Es como si la nueva loseta que añadimos fuera una anterior desplazada a una nueva posición sin giros de ningún tipo.

2.-Rotación. La nueva loseta surge por el giro de una anterior con centro en algún punto determinado y con un ángulo concreto.

3.-Reflexión. Cada loseta nueva es la imagen especular de una anterior, con un eje de simetría dado.

4.-Simetría con deslizamiento. Se trata de una reflexión seguida de una traslación en la dirección del eje de reflexión.

Estas cuatro estrategias se denominan movimientos en el plano, y son isometrías: conservan las distancias. Los dos primeros conservan la orientación( movimientos directos), y los dos últimos la invierten (movimientos inversos). Esto es importante, porque cada loseta puede tener dibujos asimétricos que hagan variar la composición. Estas transformaciones se combinan entre ellas dando lugar a estructuras algebraicas que se denominan grupos de simetrías, en este caso Grupos cristalográficos planos. Pues bien, Fedorov demostró en 1891 que no hay más de 17 estructuras básicas para las infinitas decoraciones posibles del plano formado mosaicos periódicos. Son los 17 grupos cristalográficos planos. Cada uno de ellos recibe una denominación que procede de la cristalografía, y se pueden clasificar según la naturaleza de sus giros. Los 17 grupos de simetría del plano se pueden agrupar en cinco apartados, según el orden máximo de los giros:

- Grupos de simetría sin giros: 4 grupos de simetrías..

- Grupos de simetría con giros de 180º: 5 grupos de simetrías.

- Grupos de simetría con giros de 120°: 3 grupos de simetrías

- Grupos de simetría con giros 90°: 3 grupos de simetrías.

- Grupos de simetría con giros de 60°: 2 grupos de simetrías.

Los árabes fueron unos excelentes creadores de mosaicos geométricos. Dado que su religión les impedía dibujar personas o animales; su creatividad se decantó hacia la caligrafía y los dibujos geométricos, en los que alcanzaron cotas de belleza y complejidad difícilmente superables. Los creadores de los mosaicos de la Alhambra no podían conocer el teorema de clasificación de Fedorov, y por lo tanto no conocían cuántos grupos de simetrías podían usarse para rellenar el plano con losetas (teselación del plano), por eso resulta impactante que conocieran todos y cada uno de los 17 existentes. Efectivamente, todos ellos están representados en los variados y bellísimos mosaicos de la Alhambra. Abundan los que tienen giros de 90º mientras que algunos grupos aparecen escasamente, pero absolutamente todos están representados. Todo lo relatado en este artículo se refiere a telesaciones periódicas del plano. En los últimos tiempos se han descubierto novedosas maneras de telesar un plano por procedimientos no periódicos, de la mano del famoso matemático y especialista de la relatividad general Roger Penrose, autor además de algún que otro best seller como "La nueva mente del emperador".

3 comentarios:

Eva M dijo...

Hola Antonio,
Acabo de leer tu entrada sobre la Alhambra. Y tu comentario en mi blog. Me encanta la Alhambra, me ha hecho soñar de adolescente, leer su cuentos posteriormente y disfrutar de las matemáticas como profesora. El arte árabe es para disfrutarlo y vivirlo. Me encantaría pasar dentro del recinto de la Alhambra unas semanas como Washintong Irvin o Escher. Por cierto no sé si conoces este video: Arabescos y geometría. de la UNED. Guión: Antonio Félix Costa González. Es muy bueno. En unos años, cuando pueda organizaré una visita matemática con mis alumnos.

Carmina dijo...

Hola Antonio. Me han gustado mucho tus comentarios sobre la geometria árabe. Este es un video muy interesante sobre el tema. Espero que lo disfrutes.
http://www.youtube.com/watch?v=ls53O75VVH8&feature=related

Adrian dijo...

Hola!! Que bonitos los mosaicos de la Alhambra, como las fotos que he visto en http://www.trivago.es/granada-31512/castillo--palacio--murallas/alhambra-13206, algunas de las que hice en mi visita a Granada. Un saludo